2. Решение алгебраической проблемы собственных значений в среде MathCad .

Решение общей проблемы и частной проблемы собственных значений

c точностью ε=10^{- 4} для матрицы

2.1. Настройка системы Mathcad

, так как ε=10^{- 4} - заданная точность.

Количество цифр в результате после разделяющей точки произвести на вкладке Результат диалогового окна Количество десятичных позиций команды Формат  Результат.

Установить равным 5 (по умолчанию равно 3) , что на 1 больше порядка величины TOL – для возможности округления конечного результата .

- индексацию элементов начинать с нуля ( по умолчанию ORIGIN=0 ) .

2.2. Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы методом вращения.

Формирование единичной матрицы порядка равного порядку матрицы А.

Обозначим матрицу А как А0 –

1 - итерация

В исходной матрице выше главной диагонали выбирается максимальный по модулю элемент и задается номер строки ( i )и номер столбца ( j ) его положения. Определяется угол поворота.

Вычисление угла простого поворота

Строится ортогональная матрица простого поворота. Угол поворота определен так, чтобы в результате простого поворота ( ортогонального преобразования) элементы матрицы , стоящие позициях ( i ,j ) и ( j ,i ) должны обратиться в нуль.

Выполнение простого поворота

Проверка критерия остановки итерационного процесса

0 – нет 1 – да

2 - итерация

3 – итерация

4 – итерация

5 – итерация

Получена матрица, на главной диагонали которой стоят собственные значения исходной матрицы.

Столбцы матрицы U являются нормированными собственными векторами исходной матрицы.

2.3. Нахождение максимального собственного значения и соответствующего ему собственного вектора степенным методом.

Степенной метод реализуем по схеме вычислительного эксперимента .

Для этого будем изменять длину последовательности векторов до тех , пор пока не будет получено собственное значение с заданной точностью ε.

Задание длины последовательности

Задание ненулевого вектора у

Вычисляем три последних вектора последовательности

Проверка точности полученного решения

Требуемая точность достигнута.

Максимальное собственное значение

Нормированный собственный вектор , соответствующий максимальному собственному значению

2.4. Решение алгебраической проблемы собственных значений встроенными функциями системы MathCad .

Вычисление всех собственных значений матрицы А

Вычисление всех собственных векторов матрицы А

Вычисление собственного вектора матрицы А , соответствующего собственному значению этой матрицы .

3. Контрольные задачи.

1. Найти с точностью наибольшее по модулю собственное значение заданной матрицы и соответствующий ему нормированный собственный вектор степенным методом (точность приближений для собственного числа определяется количеством совпадающих разрядов у соседних приближений).

2. Найти все собственные значения и собственные вектора матрицы методом вращений с точностью .

Варианты индивидуальных заданий.

Матрица системы определяется формулой

,

где 8,3 0,4 0,5 0,2

0,4 7,3 0,4 0,5

D= 0,5 0,46,3 0,4

0,2 0,5 0,4 5,3

 

k - номер варианта задания.

Номер варианта задания совпадает с номером компьютера.