1.2. Степенной метод нахождения максимального по модулю собственного значения и соответствующего ему собственного вектора.Обоснование сходимости.

Степенной метод позволяет найти наибольшее по модулю собственное значение и собственный вектор симметричных положительно определенных матриц ..

Пусть - собственные значения матрицы A.

Для определенности предположим, что

Берем произвольный ненулевой вектор у⁽⁰⁾.

Строим последовательность векторов

,

 ,

...,

 

Тогда

( 2 )

для любого номера i=1,2,...,n. .

Точнее

(*)

Оценку точности ( 2 ) будем производить по выполнению следующего неравенства

,

где m-1 , m , m+1 -- длины последовательностей;

i - любая компонента вектора .

Так как ,

то при 

. ( 3 )

Поскольку собственный вектор определяется с точностью до скалярного множителя, то сам вектор приближенно представляет собой собственный вектор матрицыA, соответствующий собственному значению .

1.3. Метод вращения нахождения всех собственных значений и соответствующих им собственных векторов.

Метод вращения позволяет для симметрических матриц решать полную проблему собственных значений.

Сущность метода состоит в следующем.

Известно, что для симметрической матрицы A существует ортогональная матрица U такая, что

( 4 )

где - транспонированная кU матрица , а  - диагональная матрица.

Так как , то матрицаподобна матрицеA и, следовательно, имеет те же собственные значения, что и матрица A.

Так как собственными значениями диагональной матрицы являются ее диагональные элементы, то зная U, мы можем найти все собственные значения матрицы A. Одновременно мы получим и все собственные векторы матрицы A, в качестве которых можно взять столбцы матрицы U.

Пусть , гдемало отличается от диагональной матрицы, т. е. элементы вне главной диагонали малы.

Тогда можно ожидать, что собственные числа матрицы будут близки к диагональным элементамматрицы, иможно принять за приближенные значения.

Таким образом, решение полной проблемы собственных значений сводится для симметрической матрицы A к нахождению ортогональной матрицы U, с помощью которой матрица A приводится к диагональному виду.

В методе вращения матрица U строится как предел последовательности произведений матриц простых поворотов, при которых все оси координат кроме двух остаются неподвижными. При этом матрицы простых поворотов подбираются так, чтобы при преобразовании матрицы с помощью матрицы простого поворота на каждом шаге уничтожался максимальный по модулю недиагональный элемент.

Итерационный процесс осуществляется следующим образом.

Пусть - матрица, полученная послеk - го преобразования поворота.

В матрице находится максимальный по модулю элемент. Строится ортогональная матрица простого поворота вида

( 5 )

Угол подбирается так, чтобы у матрицы

( 6 )

элемент обратился бы в нуль.

Из требования, что , получаем

, ( 7 )

Процесс заканчивается, когда все внедиагональные элементы полученной на очередном шаге матрицы будут достаточно малы , то есть сумма квадратов недиагональных элементов этой матрицы будет меньше ε

( 8 )

Диагональные элементы этой матрицы являются приближениями для собственных чисел матрицы A, а столбцы матрицы

 ( 9 )

приближениями для соответствующих собственных векторов.