Добавил:

tonistark05 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дагестанский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

037

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2016

Размер:

837.21 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Как известно, полный ток состоит из 4-х составляющих:

δcompl = δcond +δdisp +δtransf +δextr ,				(3.7)
где плотности токов определяются выражениями:
δcond = σE			- закон Ома в дифференциальной форме,	(3.8)
δ	disp	= ∂D	- ток смещения,	(3.9)
		∂t
δtransf = ρv			- ток переноса.	(3.10)
Здесь σ -		проводимость среды, δcond - плотность тока проводимости и v - скорость
движения свободных зарядов. Сторонний ток с плотностью δextr				задается внешними

источниками. Его роль может играть, например, диффузионный ток, созданный вследствие неоднородности распределения объемного заряда ρ. Такое распределение ρ может быть получено при фотовозбуждении носителей заряда световым пучком в зону проводимости или при бомбардировке электронным пучком поверхности диэлектрика.

3.3. Граничные условия

Уравнения Максвелла пригодны в представленном виде для областей пространства, в пределах которых физические свойства среды (ε, µ и др.) непрерывны. На границах раздела сред I и II имеют место граничные условия:

EτI	− EτII = 0 ,	(3.11)
DI	− DII = ξ,	(3.12)
n	n
BI	− BII = 0 ,	(3.13)
n	n

HτI − HτII =	η.	(3.14)
Уравнения	(3.11) и (3.13) свидетельствуют, что тангенциальная составляющая
вектора напряженности электрического поля Eτ		и нормальная составляющая вектора

магнитной индукции Bn при переходе через границу раздела меняются непрерывно. Из

(3.12) следует, что в этом случае нормальная составляющая вектора электрической индукции Dn изменяется на величину поверхностной плотности заряда ξ. В соответствии с (3.14), тангенциальный компонент вектора магнитной напряженности испытывает скачок на величину поверхностной плотности тока η. Необходимо учитывать, что векторы HτI и HτII ортогональны к направлению тока, текущего по границе раздела.

Уравнения (3.12) и (3.13) выводятся на основании теоремы Гаусса; (3.11) и (3.14) - на основе применения теоремы Стокса к уравнениям Максвелла. Доказательства этих соотношений можно выполнить самостоятельно или найти в литературе (см., например, [3]).

3.4. Волновое уравнение для немагнитной безграничной среды

Рассмотрим немагнитную однородную среду, являющуюся непроводящей, в которой также отсутствуют сторонние токи и заряды. В этом случае система уравнений Максвелла имеет вид

G	∂E			,		(3.15)
rot H = ε		∂t		,		(3.15)
		∂t
rot E = −µ			∂H		,	(3.16)
rot E = −µ			∂t		,	(3.16)
			∂t
div D = 0 ,						(3.17)
div B = 0 .						(3.18)

Первые два уравнения в данном случае образует замкнутую систему, причем одну из величин, характеризующих поле, можно отсюда исключить. Как это сделать? Применим к уравнению (3.16) операцию rot, и используем уравнение (3.15):

rotrot E = −µ ∂∂t rot H ,

rotrot E +µε	∂2 E	= 0 .	(3.19)
	∂t2

Используя далее соотношение		rot rot = grad div− 2 , и уравнение (3.17), получаем
2 E −µε∂ 2 E	= 0 .	(3.20)
∂t2
Аналогично можно найти уравнение и для H :
2 H −µε∂ 2 H	= 0 .	(3.21)
∂t2

Данные уравнения называются волновыми, как и уравнение (3.19), которое является более общим, чем уравнения (3.20) и (3.21), и справедливым также для анизотропной среды, где условие div E = 0 выполняется не всегда..

3.5. Одномерное волновое уравнение

Рассмотрим среду, в которой поле зависит только от координаты z. Из (3.20) получаем одномерное волновое уравнение:

∂ 2 E	−εµ	∂ 2 E	= 0 .	(3.22)
∂z2		∂t2

Отметим, что в данном случае из (3.17) получается уравнение,

	∂Ez	= 0 ,
	∂z

откуда следует Ez			= const . Такие решения нас не интересуют, и можно положить Ez = 0 .
То есть		вектор	E колеблется в плоскости, перпендикулярной направлению
распространения, и может быть представлен в виде:
	E = e Et ,		(3.23)

где e -единичный вектор в плоскости xy,		Et =	E	. Перепишем уравнение (3.22) с учетом
(3.23) в виде скалярного одномерного волнового уравнения:
∂ 2 E	∂ 2 E	(3.24)
t −εµ	t = 0 .	(3.24)
∂z2	∂t2

3.6. Плоские скалярные волны

Общее решение уравнения (3.24) представляет плоскую скалярную волну вида

	z		z
Et (z, t)= Et1 t −		+ Et 2 t +		,	(3.25)
	v		v

где v =1 µε -скорость распространения волны вдоль оси z. Как представить себе такую волну? Предположим, что при z = 0 мы имеем источник поля, напряженность которого изменяется по закону E1 (t), в общем случае произвольному. Тогда в области z > 0 имеем

	z
Et (r, t)= Et t −		,	(3.26)
	v

поскольку граничное условие (3.15) требует непрерывности тангенциальных компонент

вектора E .		Это формальная					сторона.	А физическая? Мы имеем	при z > 0
распространение			сигнала вдоль				оси z.	Скорость распространения	определяется
соотношением
v =		1	1	=	c	.			(3.27)
	µ0ε0		µr εr
					n
Здесь c =1		µ0ε0	- скорость света в вакууме, n - показатель преломления среды.

3.7. Гармонические волны
Рассмотрим сигнал, заданный при z = 0 в виде:
E (t )= E cos (ωt +ψ)=	Em	exp i (ωt +ψ) +exp −i (ωt +ψ) .		(3.28)
E (t )= E cos (ωt +ψ)=	2	exp i (ωt +ψ) +exp −i (ωt +ψ) .		(3.28)
m	2	{	}

Ему будут соответствовать гармонические плоские волны
	ωt −	ω		, при z ≥ 0,
E(z,t) = Em cos	ωt −	v	z +ψ	, при z ≥ 0,
		v
	ωt +	ω		, приz ≤ 0,	(3.29)
E(z,t) = Em cos	ωt +	v	z +ψ	, приz ≤ 0,	(3.29)
		v

распространяющиеся вдоль направлений +z и −z .
Мгновенное значение E(z,t)	электрического поля в каждый момент времени и в каждой
точке пространства определяется амплитудой Em плоской волны и фазой
ϕ(z,t )= ωt kz +ψ .	(3.30)
Если Em не зависит от координат x, y, то волна будет однородной. Здесь через k =		ω	мы
		v
обозначим волновое число,
k = ω = ω µε .	(3.31)
v

Геометрическое место точек, в которых фаза волны остается постоянной

Рис. 3.1. Поле гармонической волны

ϕ = ωt kz +ψ = const ,

(3.32)

называют фазовым или волновым фронтом. Для некоторого момента времени t' фазовый фронт рассматриваемой нами волны является плоскостью, перпендикулярной оси z. При изменении времени на ∆t фазовый фронт волны сдвигается в пространстве на расстояние ∆z.

Отношение	∆z	=	ω	= v	определяет фазовую
	∆t		k

скорость волны - скорость движения фазового фронта в пространстве, в данном случае вдоль оси z. Как изменяется поле плоской гармонической волны в фиксированный момент времени в пространстве? Очевидно, по косинусоидальному закону (рис. 3.1). Периодичность изменения поля в пространстве

задается волновым числом k. Изменение фазы волны в пространстве на 2π соответствует прохождению волной расстояния λ: ∆ϕ = 2π = kλ . Отсюда получаем соотношения:

k =

2π

(3.33)

λ =

2π

2πv

n ,

(3.34)

f µε

где f - частота волны (в Гц).

3.8. Плоская волна, распространяющаяся в произвольном направлении

Мы рассматривали выше волну, распространяющуюся вдоль оси z. Для волны в произвольном направлении необходимо использование более общего волнового уравнения

2 E

−µε

∂ 2 E

= 0,

∂ t2

(3.35)

∂ 2

−µε∂

2 Et

= 0.

∂x

∂y

∂z

∂

Запишем сразу гармоническую плоскую волну, которая удовлетворяет данному уравнению

Et (r ,t )= Em cos (ωt −k r ).

(3.36)

Здесь мы для простоты считаем начальную фазу колебаний равной нулю (ψ0 = 0) и

вводим волновой вектор

k = n	ω	= nω	µε =	ω(inx + jny + k 0nz ),	(3.37)
	v			v

где n - единичный вектор волновой нормали. Подставим выражение для Et (r ,t) в (3.35):

ω22		(nx2 + ny2		+ nz2 )Et	−µεω2 Et = 0,
v
	ω2		−µεω2		(k 2 −µεω2 )Et = 0;	(3.38)
	v	2	−µεω2	Et = 0;	(k 2 −µεω2 )Et = 0;	(3.38)
	v
1
			−µε Et = 0.
		2	−µε Et = 0.
v
Из (3.38) следует, что для Et ≠ 0 должно быть:
k 2		= µεω2 .				(3.39)
Зависимость k(ω)				называется дисперсионной зависимостью, а уравнение
k (ω)= 0 ,						(3.40)

дисперсионным уравнением. В данном случае монохроматических волн имеем:

ω2
k 2 −µεω2 = 0; k 2 −µr εr c2 = 0,	(3.41)

k= n ωc .

Вобщем случае показатель преломления зависит от частоты (явление дисперсии), что необходимо учесть в соотношении для волнового числа:

k (ω)= n (ω)ω .	(3.42)
c

3.9.Электромагнитные плоские волны

Вобщем случае решение для плоской монохроматической однородной волны имеет вид


E (r ,t )= Em cos (ωt −k r +ψ0 )=	Em	{exp i (ωt −k r +ψ0 ) +
E (r ,t )= Em cos (ωt −k r +ψ0 )=	2	{exp i (ωt −k r +ψ0 ) +			(3.43)
+exp −i (ωt −k r +ψ0 ) }= 12 Em exp −i (ωt −k r ) +c.c.,					(3.43)
+exp −i (ωt −k r +ψ0 ) }= 12 Em exp −i (ωt −k r ) +c.c.,
где Em = Em exp (iψ0 ), а c.c. означает комплексно-сопряженную				функцию	к первому
слагаемому. Нетрудно заметить, что функции			exp ±i (ωt −k r +ψ0 ) также являются
решениями волнового уравнения. Величина			Em - комплексная	векторная	амплитуда

волны. Поскольку работать с экспонентами очень удобно, то принято пользоваться понятием комплексной формы записи для гармонических плоских волн

E (r ,t )= Em exp i (ωt −k r ) ,

(3.44)

опуская множитель 1/2 и комплексно-сопряженное слагаемое. Нужно понимать, что это выражение справедливо только формально. Истинное значение электрического поля будет определяться выражением

E (r ,t )= Re{Em exp i (ωt −k r ) }.

(3.45)

Во многих случаях, когда мы имеем дело с линейными функциями от E , этот подход дает одинаковые результаты с подходом, при котором используются тригонометрические функции. Исключение составляют случаи, когда необходимо вычислить произведения или степени - например, при расчетах интенсивности или вектора Пойнтинга.

В чем же достоинство комплексного метода? Найдем производную по времени от напряженности поля плоской гармонической волны

∂∂t {Em exp i (ωt −k r ) }= iωEm exp i (ωt −k r )

Таким образом, операции дифференцирования по t соответствует умножение на iω:

∂		↔ iω.	(3.46)
∂	t

Нетрудно показать, что действие оператором на E(r ,t) аналогично действию на нее

оператором −ik :
E = −ik E = div E ,	(3.47)
×E = −ik ×E = rot E .	(3.48)

С учетом записанных соотношений представим уравнения Максвелла, которые мы применяли при описании волновых процессов в изотропной непроводящей среде в отсутствие сторонних токов и зарядов, в новой форме

rot H = δcompl ,

rot E = - ∂∂Bt , div D = ρ,

div B = 0.

Общий вариант уравнений Максвелла

	∂D	−k ×H = ωD,
	×H = ∂t ,	+ k ×E = +ωB,
	→ ×E = − ∂B ,	+ k ×E = +ωB,
	→ ×E = − ∂B ,	→ −ik D = 0,
	∂t	−ik B = 0.
	D = 0,	−ik B = 0.
	D = 0,
	B = 0.
	Уравнения Максвелла	Уравнения Максвелла
	в операторной	для плоских гармонических
	форме для σ = 0 ,	волн ( σ = 0 , ρ = 0 ,
	ρ = 0 , δtransf = 0	δtransf = 0 )

C учетом материальных уравнений (3.5) и (3.6)

D = εE , B = µH ,
из последней системы получаем:
k ×H = −ωεE ,	(3.49)
k ×E = ωµH ,	(3.50)
k E = 0 ,	(3.51)
k H = 0.	(3.52)

Отсюда следуют важные выводы о структуре полей в плоской электромагнитной волне:

1.Из первого уравнения - E k и E H .

2.Из второго - H k , H E , векторы E , H и k образуют правую систему координат.

3. Третье и четвертое уравнения также свидетельствуют о поперечности полей E и H .

								(	)
4.	k ×H		k ×H	=	k	H	sin	k , H		,
		= ω µεHm = ωεEm

Hm =	Em	=	Em	.	(3.53)
	µ
			W

Величина W = µε имеет размерность [Ом] и называется волновым сопротивлением среды. Напомним, что размерность H - А/м; E - В/м. Для вакуума получаем:

W = µ0		=120π Ом.
0	ε0
	ε0

k H

Рис. 3.2. Ориентация векторов в плоской электромагнитной волне

(3.54)

Итак, векторы E , H и k в плоской волне можно изобразить так для фиксированного момента времени t (рис. 3.2). В общем случае в зависимости от вида поляризации (линейная, круговая, эллиптическая) векторы

E и H могут синхронно изменять свое положение.

3.10. Поляризация плоских электромагнитных волн

Поле с векторами E и H , направление которых может быть определено в любой момент времени, называют поляризованным. При случайных направлениях E и H в пространстве поле является неполяризованным (солнечный свет и т.д.).

Плоскость поляризации проходит через вектор E и направление распространения волны. Различают линейную, эллиптическую и круговую (правую и левую) поляризации -

в зависимости от фигуры, которую описывает конец вектора E при распространении волны. Математически волну с произвольным видом поляризации представляют в виде двух составляющих

Ex = iE1m cos (ωt −kz), (3.55)

Ey = jE2m cos (ωt −kz −ϕ),

сдвинутых по фазе и имеющих различные амплитуды в общем случае. Для плоскости z =0 имеем

= cos ωt,

= cos ωt cos ϕ+sin ωt sin ϕ,

(3.56)

откуда получаем

Ey2

−2

Ex Ey

cos ϕ = sin2

ϕ.

(3.57)

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.02.2016422.95 Кб2101002736561.pdf
#
15.02.2016837.21 Кб19037.pdf
#
15.02.201647.42 Кб62 мировая.docx
#
15.02.20161.73 Mб202-1.pdf
#
15.02.2016435.76 Кб1230.pdf
#
15.02.20161.04 Mб15648.pdf
#
15.02.20161.36 Mб27821.pdf

037

Как известно, полный ток состоит из 4-х составляющих:

Ему будут соответствовать гармонические плоские волны