Параллели между электродинамикой и квантовой механикой

Любое решение уравнений Максвелла ,  в случае линейных сред и при отсутствии свободных зарядов и источников тока может быть представлено в виде суперпозиции гармонических во времени функций с комплексными амплитудами , зависящими от частоты:

,

где  есть либо , либо .

Поскольку поля являются вещественными, то , и  можно записать в виде суперпозиции гармонических во времени функций с положительной частотой:

,

.

Рассмотрение гармонических функций позволяет перейти к частотной форме уравнений Максвелла, не содержащей производных по времени:

,

,

где временная зависимость участвующих в этих уравнениях полей представляется в виде , . Мы предполагаем, что среды изотропны, и магнитная проницаемость .

Явно выразив поле , взяв ротор от обеих частей уравнений, и подставив второй уравнение в первое, получаем:

,

где  – скорость света в пустоте.

Иначе говоря, мы получили задачу на собственные значения:

для оператора

,

где зависимость  определяется рассматриваемой структурой.

Собственные функции (моды)  полученного оператора должны удовлетворять условию

.

 находится как

.

При этом условие  соблюдается автоматически, поскольку дивергенция ротора всегда нулю.

Оператор  линеен, из чего следует, что любая линейная комбинация решений задачи на собственные значения с той же самой частотой  будет также решением. Можно показать, что в случае этот оператор эрмитов, т. е. для любых векторных функций 

,

где скалярное произведение определяется как

.

Из эрмитовости оператора  следует вещественность его собственных значений . Также можно показать, что при , собственные значения неотрицательны, а следовательно, частоты  - вещественны.

Скалярное произведение собственных функций, соответствующих разным частотам , всегда равно нулю. В случае равенства частот это не обязательно так, однако всегда можно работать только с ортогональными друг другу линейными комбинациями таких собственных функций. Более того, всегда можно составить базис из собственных ортогональных друг другу функций эрмитова оператора .

Если, наоборот, выразить поле  через , получается обобщенная задача на собственные значения:

,

в которой операторы присутствуют уже в обеих сторонах уравнения (при этом после деления на оператор в левой части уравнения становится неэрмитовым). В некоторых случаях данная формулировка оказывается удобнее.

Отметим, что при замене  в уравнении на собственные значения новому решению  будет соответствовать частота . Этот факт называется масштабируемостью и имеет большую практическую значимость. Производство фотонных кристаллов с характерными размерами порядка микрона технически сложно. Однако в целях тестирования можно изготовить модель фотонного кристалла с периодом и размером элементов порядка сантиметра, который бы работал в сантиметровом режиме (при этом нужно использовать материалы, которые бы в сантиметровом диапазоне частот обладали примерно такой же диэлектрической проницаемостью, что и моделируемые материалы).

Проведем аналогию описанной выше теории с квантовой механикой. В квантовой механике рассматривается скалярная волновая функция , принимающая комплексные значения. В электродинамике - векторная, причем комплексная зависимость  вводится лишь для удобства. Следствием этого факта, в частности, является то, что зонные структуры для фотонов в фотонном кристалле будут разными для волн с различной поляризацией в отличие от зонных структур для электронов.

Как в квантовой механике, так и в электродинамике решается задача на собственные значения эрмитового оператора. В квантовой механике эрмитовы операторы соответствуют наблюдаемым величинам.

И наконец, в квантовой механике, если оператор  представим в виде суммы , решение уравнения на собственные значения можно записать как , то есть задача распадается на три одномерные. В электродинамике это невозможно, поскольку оператор  «связывает» все три координаты, даже если в  они разделяются. По этой причине в электродинамике аналитические решения имеются лишь у весьма ограниченного числа задач. В частности, точные аналитические решения для зонного спектра ФК находятся в основном для одномерных ФК. Именно поэтому важную роль играет численное моделирование для расчета свойств фотонных кристаллов.