Лекции_по_волновой_оптике

Из равенства времен следует равенство отношений пройденных путей к скоростям: d1 / v2 = d1 / v2.

Если выразить скорости через показатели преломления и скорость света в вакууме по формуле

(14.1), то получится d1 n1/c = d2 n2 /c, из чего следует, что d1 / d2 = n2 / n1. Далее, согласно (14.11),

λ1 / λ2 = v1 / v2 = n2 / n1. Наконец, непосредственно из условия задачи следует, что при одинаковых временах прохождения свет одинаковой частоты совершит одинаковое количество колебаний, а

значит, распространится на одинаковое количество длин волн.

Из § 13 вы знаете, что все электромагнитные волны поперечны. Напомним, что любая электромагнитная волна, в том числе и свет, представляет собой распространяющиеся в пространстве колебания векторов напряженности электрического поля Е и индукции магнитного пол В, перпендикулярных друг другу и направлению распространения (лучу). Однако в естественном солнечном свете с равной вероятностью одновременно присутствуют любые направления вектора напряженности Е, перпендикулярные лучу. При прохождении естественного света через некоторые анизотропные кристаллы, называемые поляризаторами, колебания вектора

Е становятся упорядоченными, например, направленными вдоль одной оси. Такой свет называется

поляризованным.

В начале данного параграфа уже говорилось о дисперсии, то есть, зависимости показателя преломления некоторых веществ от частоты света. Следует запомнить, что стекло сильнее всего преломляет лучи света, имеющие наибольшую частоту, и соответственно, наименьшую длину волны, то есть «фиолетовые». Для «красных» же лучей показатель преломления меньше всего, так как они имеют наименьшую частоту из видимого диапазона. Преломление остальных лучей подчиняется «по возрастающей» детской запоминалочке: каждый охотник… . В результате дисперсии при прохождении узкого пучка белого света через стеклянную призму можно увидеть его разложение в спектр, так как углы преломления лучей различных частот, из которых состоит белый свет, будут различными.

Задача 14. 20. Б.

На переднюю грань прозрачной стеклянной призмы падают параллельные друг другу зеленый и красный лучи лазеров, причем точка падения зеленого луча

находится ближе к преломляющей вершине призмы. Каково будет их взаимное расположение после прохождения призмы? Пересекутся.

Решение.

Из-за дисперсии угол отклонения зеленого луча будет больше, чем красного, и лучи пересекутся.

Разумеется, это случится не так близко к призме, как нарисовано,

потому что отличие показателей преломления составляет менее 1 %, а

следовательно, угол между лучами будет не более 1º.

14.5. Интерференция света. Опыт Юнга. Интерференция в пленках.

Интерференцией называется сложение колебаний от двух источников волн, проводящее в различных точках пространства к увеличению или уменьшению результирующей амплитуды колебаний. Для того чтобы можно было вообще говорить о результирующей амплитуде при сложении двух колебаний, требуется, чтобы колебания имели строго одинаковые частоты, иначе результат сложения не будет гармоническим колебанием. Понятие амплитуды вообще не будет иметь смысла, так как при несовпадении частот сдвиг фаз складываемых колебаний не будет постоянен. В случае со светом ситуация осложняется тем, что источниками световых волн являются атомы вещества, излучающие не непрерывную «синусоиду», а ограниченные ее отрезки,

имеющие небольшие отличия в частоте и совершенно разные поляризации. Между излучением отдельных атомов нет никакой синхронности (кроме излучения лазеров). Поэтому для наблюдения интерференции света требуется некоторым образом разделить единый узкий световой пучок на две части, и исследовать распределение освещенности в области их дальнейшего перекрытия

(интерференционную картину). Такие два источника света называются когерентными источниками. Про них можно сказать, что они имеют в достаточной мере строго одинаковые частоты и поляризации.

Если условия когерентности соблюдены, то результирующая амплитуда колебаний вектора

Е, а следовательно, и освещенность в данной точке зависит от разности фаз колебаний,

пришедших от двух источников. Эта разность фаз образуется из-за того, что волна от одного из

когерентных источников проходит до встречи с волной от другого источника в данном месте интерференционной картины разные расстояния l1 и l2, иногда в разных средах. Возникает так называемая оптическая разность хода двух волн

где n1 и n2 – показатели преломления сред, в которых распространяются интерферирующие волны.

Если разность хода такова, что составляет целое число длин волн λ данного света в вакууме, то при сложении возникает максимум интерференционной картины, то есть наибольшая освещенность. Если же разность хода такова, что составляет нечетное число половин длин волн

λ/2 данного света в вакууме, то при сложении возникает минимум интерференционной картины,

то есть наименьшая освещенность. Итак, условие максимума интерференции:

Рассмотрим на конкретных задачах две наиважнейших схемы интерференции, различающихся по способу обеспечения условий когерентности: опыт Юнга и отражение от тонких пленок.

Задача 14. 21. П.

Если направить на два отверстия в фольге пучок света от лазерной указки, то на экране наблюдается интерференционная картина. Какова длина волны света лазера, если расстояния между центрами отверстий d = 1 мм, расстояние от фольги до экрана L = 5 м, а расстояние между двумя темными полосами на экране b = 3,5 мм. 700 нм.

Решение.

свет от двух отверстий приходит с разностью хода δ = l2 – l1, зависящей от х. С учетом малости углов наблюдения эта зависимость выглядит следующим образом:

δ = d =d х /L. Наложив на эту разность хода условие минимумов (14.14), получим, что

d х /L = (2k+1) λ/2, k = 0, 1, 2,…. , откуда найдем координаты темных полос на экране

хk = (k+1/2) λ L/ d. Таким образом, первая темная полоса появляется на расстоянии λ L /2d по обе стороны от центра экрана, вторая - на расстоянии 3λ L /2d, следующая - на расстоянии

5λ L/2d, и так далее. Между двумя соседними полосами расстояние получается равным λ L /d. По условию задачи оно равно b: b= λ L /d, откуда λ = b d / L =0,7 10-6 м.

Схема наблюдения интерференции, описанная в этой задаче, впервые была продемонстрирована английским физиком Юнгом, поэтому опыт носит его имя. Из решения этой задачи следует запомнить формулу для расстояния х между темными (или светлыми) полосами в опыте Юнга:

где - длина волны света, L – расстояние от точечных когерентных источников до экрана; d –

расстояние между двумя источниками. Многие другие эксперименты по получению интерференции от двух точечных когерентных источников, например, опыты Френеля с двойной призмой, двойным зеркалом или двойной линзой, рассчитываются по этой формуле.

Задача 14. 22. П.

На поверхность пластинки из стекла с показателем преломления n1 = 1,65 нанесена пленка толщиной d = 110 нм с показателем преломления n2 = 1,55. Для какой длины волны видимого света пленка будет «просветляющей»? 682 нм .

Решение.

Действие «просветляющей» пленки заключается в том, что она сводит к

поверхности самой пластинки, но и от внешней поверхности пленки. Если пленка очень тонкая, то свет, отраженный от внутренней (луч №1) и внешней (луч №2) поверхностей пленки, когерентен,

и поэтому может усиливаться или ослабляться в зависимости от разности хода между лучами 1 и 2. При перпендикулярном падении света разность хода, очевидно, составляет 2d n2, поскольку

2d – дополнительный путь луча 1 в среде с n2 по сравнению с лучом 2. Если мы наложим на эту разность хода условие максимума интерференции (14.13), то узнаем, при каком соотношении параметров отраженный свет будет наиболее ярким. В данной же задаче нам следует наложить на разность хода условие минимума (14.14): 2d n2 = (2k+1) λ/2, k = 0, 1, 2,…., откуда найдем несколько длин волн, удовлетворяющих условию задачи: λk = 4d n2 / (2k+1). Подставляя численные значения, получаем λ1 = 682 нм ; λ2 = λ1/3 ; λ3 = λ1/5, и т д. Из них в видимом диапазоне лежит только λ1, остальные – в ультрафиолете.

Из решения данной задачи следует запомнить формулу для разности хода двух лучей,

интерферирующих при отражении от тонкой пленки при перпендикулярном падении:

где d – толщина пленки, n - показатель преломления материала пленки.

14. 6. Дифракция света. Дифракционная решетка.

Дифракция света в принципе ничем не отличается от интерференции. Для ее наблюдения также обязательно соблюдение условий когерентности складываемых волн. Разница заключается только в количестве этих волн. Под интерференцией принято понимать сложение волн от двух источников, а под дифракцией – наложение волн, пришедших от многочисленных открытых участков волновой поверхности света, дошедшего до некоторого препятствия в виде круглых отверстий, щелей или маленьких непрозрачных дисков. Согласно принципу Гюйгенса – Френеля,

все такие участки становятся источниками волн, распространяющихся во всех направлениях.

Поэтому при соблюдении условий когерентности мы наблюдаем отклонение от прямолинейности распространения света, которую и называют дифракцией.

между соответственными точками соседних прорезей (например, между левыми границами)

называется периодом решетки d. Установка для наблюдения спектра должна еще содержать собирающую линзу и экран, расположенный в ее фокальной плоскости.

Представим себе сначала, что будет видно на экране в случае падения на решетку света с единственной определенной длиной волны (монохроматического света). Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, каждая точка каждой прорези становится источником волн,

распространяющихся под любыми углами к первоначальному направлению. При этом лучи,

идущие от соответственных точек соседних щелей в одном направлении, приобретают одинаковую разность хода, зависящую от угла между их направлением и осью системы. Из рисунка видно, что эта разность хода равна = d sin . При прохождении через линзу все эти лучи,

не получая уже больше никакой дополнительной разности хода, собираются в одной точке фокальной плоскости, совмещенной с экраном. Если наложить на эту разность хода условие максимума (14.13), то получится условие на углы , под которыми на экране будут видны яркие

Иногда роль линзы может выполнить глаз наблюдателя, где в роли экрана выступает сетчатка глаза. Если же использована линза с фокусным расстоянием F, то расстояние х1 от центра картины до первого максимума можно найти по формуле

где 1 определяется из (14.17) при k=1. Если наблюдение проводится без линзы, то в (14.18)

вместо F следует использовать расстояние от решетки до экрана.

Общее количество максимумов данной длины волны, получающихся на данной решетке,

определяется из той же формулы (14.17) с учетом того, что sin не может быть больше 1.

Действительно, k λ / d 1 k d / λ. Итак, максимальный порядок спектра kmax определяется как целая часть числа (d / λ). Следует иметь в виду, что если, например, kmax = 3, то на экране видно 7 ярких полос, так как существует по два максимума каждого порядка, симметричных

относительно центра картины, и один центральный максимум.

Если на решетку падает свет, в котором присутствуют несколько различных частот, то полосы разных цветов будут получаться на экране в разных местах, потому что углы дифракционных максимумов зависят от длины волны. Исключение составляет только центральный «белый» максимум. Чем больше и меньше , тем ближе к центру картины будет соответствующая полоса. Так дифракционная решетка выполняет свою задачу разложения света в

спектр.

Задача 14.23. Б.

На дифракционную решетку с периодом d = 0,01 мм нормально к поверхности решетки падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны = 600 нм. За решеткой параллельно ее плоскости расположена тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием f = 5

см. Чему равно расстояние между максимумами первого и второго порядков на экране,

расположенном в фокальной плоскости линзы? 25 мм.

Решение.

Найдем сначала синусы углов первого и второго главных максимумов по формуле (14.17): sin 1 =

λ / d = 0,06; sin 2 = 2 λ / d = 0,12. Так как они оказались много меньше 1, то их можно подставить в (14.18) вместо тангенсов: х1 = 0,3 см; х2 = 0,6 см. Тогда расстояние между ними х = х2 – х1 = 0,25

см.

Задача 14.24. П.

На дифракционную решетку длиной 1 см нанесено 2500 штрихов. Определите длину световой

В данном случае х выполняет роль х2, то есть координаты максимума второго порядка. Определим сначала период решетки: d =1 см / 2500 = 4 мкм. Затем найдем тангенс угла, под которым виден второй максимум: tg 2 = х/L = 0,275. Так как он не много меньше 1, то точнее будет вычислить на калькуляторе синус этого угла: sin 2 = 0,265. Теперь подставим его в (14.17), одновременно с k =

2:4 мкм 0,265 = 2 λ, откуда λ = 0,53 мкм.