Ранговий коефіцієнт (Спірмена)

Ранговий коефіцієнт кореляції більш придатний в порівнянні зі звичайним коефіцієнтом для характеристики кореляцій у випадках нелінійної зв'язку і для даних, розподіл яких відрізняється від нормального. Крім того, дані для розрахунку рангового коефіцієнта можуть бути представлені в напівкількісних вимірах. Обчислення коефіцієнта проводиться за формулою:

Алгоритм розрахунку коефіцієнта кореляції рангів:

1) замінюють кількісні (або напівкількісні, або якісні) ознаки ряду х і у на ранги, ранжуючи при цьому строго від меншої величини до більшої (або суворо від більшої до меншої на розсуд дослідника);

2) визначають умовні відхилення (а), тобто різницю рангів по кожному рядку;

3) зводять умовні відхилення в квадрат;

4) визначають суму квадратів умовних відхилень;

5) підставляють отримані дані у відому формулу і обчислюють коефіцієнт кореляції.

Приклад. Виміряти кореляцію між смертністю від раку молочної залози і раку матки (матеріали смертності 5 позаєвропейських країн за 1950 - 1952 рр..),

Країна	Смертність від раку молочної залози на 100000 жінок х	Смертність від раку матки на 100000 жінок у	Порядкові номери (ранги) за розмірами смертності від раку		Різниця рангів а	Квадрат різниці рангів а 2
			молочної залози	матки
Нова Зеландія	28,6	14,9	1	4	3	9
Австралія	23,5	13,4	2	5	3	9
ПАР	21,1	16,3	3	2	1	1
Чилі	5,8	15,3	4	3	1	1
Японія	3,3	19,1	5	1	4	16
						Sа 2= 36

Оскільки обчислення коефіцієнта кореляції рангів зазвичай проводиться на малій кількості числі спостережень (кількість пар в лавах х, у), особливого значення набуває оцінка статистичної значущості (достовірності) цього коефіцієнта. Ранговий коефіцієнт завжди менш точний, ніж парний коефіцієнт кореляції.

Оцінка достовірності коефіцієнта кореляції рангів проводиться різними методами в залежності від числа спостережень. При числі парних спостережень, меншому за число 9 (n £ 9), оцінка значимості проводиться за спеціальною таблицею. При числі спостережень від 10 і більше оцінка значимості може здійснюватися за допомогою критерію t за формулою:

.

Використовуючи таблицю значень t Стьюдента, при числі ступенів свободи без двох (n²= n-2), порівнюють обчислене значення з табличним. Коефіцієнт визнається значущим за умови, якщо розрахункове t> t_0,05табличного.

Критичне значення коефіцієнтів кореляції Спірмена - r

n	Рівні значущості		n	Рівні значущості
	5%	1%		5%	1%
4	1,000		16	0,425	0,601
5	0,900	1,000	18	0,399	0,564
6	0,829	0,843	20	0,377	0,534
7	0,714	0,893	22	0,359	0,508
8	0,643	0,833	24	0,343	0,485
9	0,600	0,783	26	0,329	0,465
10	0,564	0,746	28	0,317	0,448
12	0,506	0,712	30	0,306	0,435
14	0,456	0,645

Коефіцієнт кореляції визнається значущим (достовірним), якщо обчислене r £ r 0,05.

У розглянутому прикладі число спостережень менше 9 (n = 5), внаслідок чого оцінка коефіцієнта проведена за таблицею. При числі спостережень, що дорівнює 5, розраховане значення r =- 0,80 менше критичного і тому не можна з достатньою вірогідністю стверджувати, що між смертністю від раку молочної залози і раку матки існує якась залежність.

Визначення тісноти зв'язку між якісними ознаками

При вивченні залежності якісних ознак використовується коефіцієнт спряженості. Для визначення тісноти зв'язку в разі альтернативної залежності двох ознак , які співставляються (дані, як правило, представлені в таблицях з чотирма полями) коефіцієнти спряженості розраховуються за формулами:

коефіцієнт контингенции Шарльє:

коефіцієнт асоціації Юла (Q):

Алгоритм розрахунку:

1) шифрують через a, b, c, d чотири поля, в яких розташовані вихідні дані: ;

2) обчислюють послідовно твориa * d і b * c;

3) розраховують чисельник формули;

4) визначають знаменник формули;

5) обчислюють коефіцієнт Шарльє або Юла.

Приклад. Визначити залежність між методами лікування (хірургічний і рентгенотерапія, тільки хірургічний) і результатами (одужання чи неодужання).

Метод	Одужання	Неодужання	Усього хворих
I	14 (a)	8 (b)	22 (a + b)
II	7 (c)	9 (d)	16 (c + d)
Усього:	21 (a + c)	17 (b + d)	38 (a + b + c + d) = N

.

Примітка. Коефіцієнт асоціації дає швидку, але орієнтовну оцінку зв'язку. Досить точну величину коефіцієнт Q визначає для значень r між 1,5 і 0,5.

У тих випадках, коли якісні фактори мають не альтернативне варіювання (чотири поля), а більше число угруповань, коефіцієнт спряженості обчислюється за формулою:

,

де j ²(фі-квадрат) - коефіцієнт контингенції Пірсона.

Алгоритм розрахунку:

1) встановлюють кореляційну таблицю;

2) частоти (числа спостережень) вписують зверху кожної клітини таблиці;

3) частоти зводять у квадрат і результат записують під ними;

4) квадрат частот ділять на суму числа спостережень (частот) кожної графи таблиці (див. приклад розрахунку: 625:46 = 12,7; 225:75 = 3 і т.д.);

5) результат від ділення проставляють внизу кожної клітини таблиці;

6) визначають суму результату від ділення по кожному рядку і записують у нижній частині підсумкової клітини таблиці (12,7 +3,0 +2,0 = 17,7 і т.д.);

7) зазначені суми ділять на відповідніпідсумки рядків (сума від числа спостережень за рядком): 17,7:50 = 0,35; 24,5:60 = 0,4 і т.д.;

8) обчислюють значення j ^2,який є сумою отриманих вище результатів від ділення без одиниці (j²= 1,28-1 = 0,28);

9) отримане значення j ²підставляють у формулу і обчислюють коефіцієнт спряженості С.

Приклад. Обчислити коефіцієнт спряженості при вимірюванні тісноти зв'язку між житловими умовами і захворюваністю обстежуваних.

Житлові умови	Розподіл обстежуваних за частотою захворювань			Разом
	Частота хворіють	Епізодично хворіють	Чи не хворіють
Незадовільні	25	15	10	50
	25 2= 625	225	100
	12,7	3	2	17,7	0,35
Задовільні	18	36	6	60
	324	1296	36
	6,6	17,3	0,6	24,5	0,4
Хороші	6	24	40	70
	36	576	1600
	0,8	7,7	28,6	37,1	0,53
	25 +18 +6 = 49	75	56	180	0,35 +0,4 +0,53 = 1,28

, Звідси.

Величина С дозволяє судити про наявність середнього кореляційного зв'язку між розглянутими факторами.