Применим описанный метод решения:

ln y k ln x C - это общее решение уравнения. Попробуем получить решение в явном виде.

Ответ. Общий вид функций с постоянной эластичностью:

y Cxk

© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения» "

Модель

демографического роста

Из статистических данных известно, что прирост числа новорожденных и числа умерших за единицу времени пропорционален численности народонаселения.

Обозначим:

y(t) - численность населения в данный момент времени, y0= y(0) численность населения в начальный момент времени;

dy/dt- прирост населения за единицу времени; k1y- прирост новорожденных;

k2y- прирост умерших.

Модель

демографического роста

Требуется построить кривую роста народонаселения, позволяющую дать перспективный прогноз относительно численности населения.

Решение.

В соответствии с условиями задачи требуется

найти решение дифференциального уравнения

dy/dt=k1y- k2y при начальных условиях y(0) = y0. Обозначим k=k1 k2, тогда y'=ky.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Применив метод решения, получим y(t)=Cekt

Модель

демографического роста

Значение постоянной С найдём из начальных условий:

y0 y(0) Ce0 C

Получим решение задачи Коши: y(t)= y0 ekt На рисунке изображены интегральные кривые при k>0 и k<0/

Уравнения с разделяющимися переменными

Заметим, что уравнение y'=ky

является математической моделью для широкого круга прикладных задач:

процесс ядерного распада;

изменение атмосферного давления с ростом высоты;

модель изменения выпускаемого объёма продукции от времени и т.д.

© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения» "

Однородные функции

Рассмотрим Д.У.: y'=f(x,y)

Пусть функция f(x,y) удовлетворяет условию:

f(kx, ky)=knf(x,y).

Функции такого вида называют однородными n- го порядка.

Поэтому для однородной функции нулевого

порядка выполняется условие f(kx, ky)=f(x,y).

© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения» "

Уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения y'=f(x,y), у которых функция f(x,y) является однородной, могут быть сведены к уравнению с разделяющимися

переменными с помощью замены переменной:

y

ux

Дифференциальные уравнения y'=f(ax+by) могут быть сведены к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены переменной: u=ax+by

© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения» "

ТАБЛИЦА

u=x+C;

yx x C

y=x2+Cx

Ответ. y=x2+Cx

© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения» "