Дифференциальные

уравнения

Лекции по математике

© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения» "

Рекомендуемая литература

Высшая математика для экономистов. / Под ред. проф. Н.Ш.

Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2000.

Ермаков В.Н. Общий курс высшей математики для экономистов. - М. ИНФРА 2003.

Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по математическому анализу. ВФ СПбГУСЭ, 2008.

© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения» "

Содержание

Уравнения с разделяющимися

переменнымиОднородные функции порядка

Уравнения, сводящиеся к

уравнениям с разделяющимися переменными

© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения» "

Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим (Д.У.) первого порядка следующего вида:

y f(x) g(y)

Такое уравнение получило название (Д.У.) с разделяющимися переменными.

© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения» "

Уравнения с разделяющимися переменными

Другой вид уравнения:

M(x)N( y)dx P(x)Q( y)dy 0

Напомним, что по определению дифференциала: dy y dx

y dydx

© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения» "

Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение с разделяющимися переменными можно представить в виде:

dydx f(x) g(y)

Преобразуем уравнение, разделив

переменные: dy

g(y) f(x) dx

© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения»

"

Уравнения с разделяющимися переменными

Интегрируя обе части уравнения, получим

g(y)dy f(x)dx

© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения» "

Уравнения с разделяющимися переменными

Напомним, что неопределённый интеграл

– это семейство первообразных подынтегральной функции.

Обозначим G(y) и F(x) первообразные функций 1/g(y) и f(x) соответственно.

Тогда G(y)=F(x)+С

С – произвольная постоянная.

© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения» "

Уравнения с разделяющимися переменными

Выражение G(y)=F(x)+С называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Если удаётся разрешить его относительно переменной y, то получим общее решение уравнения y=φ(x,С).

© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения» "

Найти вид функций, имеющих постоянную эластичность.

Решение. y k

эластичности равен y

постоянной величине: x

или

y k yx

Мы получили уравнение с разделяющимися переменными.