Вычисление объёмов тел
вращения
Для решения этой задачи разобьём отрезок [a,b] на n отрезков точками:
a=xo < x1 < x2 < … < xn=b
и на каждом из отрезков разбиения вычислим объём тела вращения Vi.
Очевидно, что искомый объём
Vx= V1+ V2+…+ Vn
«Геометрические приложения интеграла. Несобственный интеграл»
Vi R2 h
h i xi xi 1
R f (ci )
Vi f 2 (ci ) xi
Вычисление объёмов тел
вращения
Считая, что длина отрезка [xi,xi+1] мала, объём тела вращения, построенного на каждом отрезке, можно приближённо
заменить на объём цилиндра, высота которого xi, а радиус окружности – основания цилиндра равен значению функции f(ci), где ci - любая точка этого отрезка.
«Геометрические приложения интеграла. Несобственный интеграл»
Вычисление объёмов тел
вращения
Точность вычислений тем выше, чем
меньше длина каждого отрезка |
xi. |
|||||
Поэтому |
|
|
n |
|
|
. |
V lim |
|
f 2 (c |
) x |
i |
||
max x 0 |
|
|
i |
|
||
Следовательно |
i |
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
b
V f 2 (x)dx
a
«Геометрические приложения интеграла. Несобственный интеграл»
Вычисление объёмов тел
вращения
Аналогично можно вывести формулу для
вычисления объёма тела вращения относительно оси Oy:
|
d |
( y)dy |
|
Vy |
g 2 |
||
где g(y) – функция,c |
обратная к f(x). |
||
«Геометрические приложения интеграла. Несобственный интеграл»
Пример. Вычислить объёмы тел вращения Vx и Vy для функции y=1/x2 на отрезке [1, 4].
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|||||
1. Для вычисления Vx применим формулу Vx |
f 2 (x)dx |
||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 1 |
x 3 |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
63 |
|||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
V |
x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
3 |
|
|
3x |
|
|
|
192 |
|
|
3 |
|
192 |
|||||||||
|
|
1 x |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
2. Для вычисления Vy применим формулу |
Vy g 2 ( y)dy |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c |
|
||||||||||||||||||
«Геометрические приложения интеграла. Несобственный интеграл»
Для того, чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо найти обратную функцию g(y), а также значения c и d.
Наименьшее значение заданная функция принимает
при x=4, а наибольшее – при x=1. Поэтому y |
1 |
,1 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
y |
|
12, то |
g( y) |
1 |
|
|
16 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
dy ln |
|
|
|
|
|
||
Vy |
|
y |
|
11/16 |
|||||
|
|
||||||||
|
|||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|||
|
1/16 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
ln1 ln |
|
|
|
ln16 |
|
|
|||
|
16 |
|
||
|
|
|
||
«Геометрические приложения интеграла. Несобственный интеграл»