Дифференциальное и
интегральное
исчисление
Лекции по математике для студентов I курса
Рекомендуемая литература
Высшая математика для экономистов. / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2000.
Ермаков В.Н. Общий курс высшей математики для экономистов. - М. ИНФРА 2003.
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по математическому анализу. ВФ СПбГУСЭ, 2008.
И.Р.Тимошина "Дифференциальное и |
2 |
|
|
интегральное исчисление", презентации |
|
лекций |
|
Содержание
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление объёмов тел вращения
© И.Р.Тимошина "Дифференциальное и интегральное исчисление"
Вычисление площадей плоских фигур
Теорема. Пусть на отрезке [a, b] заданы непрерывные функции f1(x) и f2(x) такие, что f(x) ≥ g(x). Тогда площадь фигуры,
заключённой между кривыми y=f(x) и y=g(x) на отрезке [a, b] , вычисляется по
формуле:
b
S (f(x) g(x))dx
a
«Геометрические приложения интеграла. Несобственный интеграл»
Вычисление площадей плоских фигур
Доказательство. Возможны несколько случаев расположения кривых на отрезке
1.Пусть f(x) ≥ g(x) ≥ 0. Тогда искомая площадь равна разности площадей
|
двух криволинейных |
|
|
|
|||||||||
|
трапеций, задаваемых |
|
|
|
|
||||||||
|
этими функциями: S f(x)dx g(x)dx (f(x) g(x))dx |
||||||||||||
|
|
|
b |
b |
b |
||||||||
|
|
|
a |
a |
a |
||||||||
«Геометрические приложения интеграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Несобственный интеграл» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление площадей плоских фигур
|
2. Пусть функция g(x) или обе |
|
|
|
||||||||||
|
|
+С |
|
|||||||||||
|
функции принимают на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
заданном отрезке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
отрицательные значения. |
|
|
|
|
|
|
|
+С |
|
||||
|
Выберем число C >0 так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
чтобы выполнялись |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Тогда |
|
|
||||||||||
|
f(x)+C ≥ 0; g(x) +C≥ 0, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
b |
b |
||||||||
|
т.е. сдвинем всю фигуру |
|
S (f(x) C)dx (g(x) C)dx |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
||||||||||||||
|
вверх без изменения её |
|
|
|
|
a |
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
формы и площади. |
|
|
|
b |
|
|
|||||||
|
|
(f(x) g(x))dx |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||
«Геометрические приложения интеграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Несобственный интеграл» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример
Для линейной функции y=kx+b предельный показатель (скорость
изменения) равен k, ∆y=k∙∆x
Величина k показывает, на сколько изменится
значение функции, если ∆x=1.
И.Р.Тимошина "Дифференциальное и |
7 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Пример. Найти площадь фигуры, органиченной линиями:
y x2 2
Решение. Найдём координаты точек пересечения графиков.
«Геометрические приложения интеграла. Несобственный интеграл»
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
y x 6
x2 2
x
4
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
.1 |
1 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
x |
|
9
Вычисление объёмов тел
вращения
Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная знакопостоянная функция y=f(x).
Требуется найти объём Vx тела, образованного при вращении вокруг оси
абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной лилиями y=f(x) , y=0 , x= a, x=b.
«Геометрические приложения интеграла. Несобственный интеграл»
Vx