Д. У. второго порядка, допускающие

Рассмотрим уравнение вида y f(x,y ), правая часть которого не содержит явным

образом функцию y(x).

Обозначим y p(x);y p (x)

Подставляя новые переменные в уравнение, получим: p f(x,p) - дифференциальное

уравнение первого порядка относительно функции p(x).

1.Введём замену переменных: p=y'; p'=y'‘. Тогда

2.p'∙tgx=p+1 уравнение с разделяющимися переменными.

3.dp/(p+1)=dx/tgx; ln p+1 =ln sinx +C1; p=C1sinx; 4.y'=C1sinx; y= C1cosx+C2;

Д. У. второго порядка, допускающие

y f(y, y )

первого порядка заменой

y p(y);y p (уу p

Пример. Найти общее решение уравнения

.

2yy 1 (y )2

Решение. Положим y p( y)

Интегрируя уравнение, найдём общий интеграл:

Ответ. Общий интеграл уравнения

Уравнение Бернулли

y p(x) y f (x) yn

где p(x) и f(x) – заданные непрерывные функции,

Отметим, что при n=0 это уравнение становится линейным уравнением; при n=1 – уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение Бернулли можно решить с помощью подстановки y=u(x)∙v(x).

Уравнение Бернулли

Подстановка

z 1 yn 1

Позволяет свести уравнение Бернулли к линейному уравнению.

Пример. Найти частное решение уравнения,

y xy xy2

удовлетворяющее начальному условию y(1) 1

Решение.