Дифференциальные
уравнения
Лекции по математике
Рекомендуемая литература
Высшая математика для экономистов. / Под ред. проф. Н.Ш.
Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2000.
Ермаков В.Н. Общий курс высшей математики для экономистов. - М. ИНФРА 2003.
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по математическому анализу. ВФ СПбГУСЭ, 2008.
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
2 |
|
|
уравнения» " |
|
Содержание
Линейные дифференциальные
уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения
высших порядков
Дифференциальные уравнения
второго порядка, допускающие понижение порядка
Уравнение Бернулли
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
3 |
|
|
уравнения» " |
|
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка y f(x)y g(x)
y'+f(x)y=g(x) - неоднородное уравнение
y'+f(x)y= 0 - однородное уравнение
Вопросы:
1.Почему эти уравнения называют линейными?
2.Чем отличаются однородное и неоднородное
уравнения? |
|
3. Является ли однородное уравнением |
|
с разделяющимися переменными? |
|
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
4 |
|
|
уравнения» " |
|
Методы решения линейных уравнений
y f(x)y g(x)
Метод 1. Будем искать решение в виде
произведения двух неизвестных функций:
y(x)=u(x)∙v(x) y (x) u (x) v(x) u(x) v (x)
u (x) v(x) u(x) v (x) f(x) u(x) v(x) g(x) u (x) v(x) u(x) (v (x) f(x) v(x)) g(x)
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
5 |
|
|
уравнения» " |
|
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Подберём функцию v(x) так, чтобы выражение в скобках обратилось в ноль:
v (x) f(x) v(x) 0
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его. Полученное решение подставим в наше уравнение.
С учётом того, что |
, получим: |
|
|
|
v (x) f(x) v(x) 0 |
||
u (x) v(x) g(x); u(x) g(x); |
u(x) |
g(x) dx |
v(x) |
|
|
|
v(x) |
|
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
6 |
|
|
уравнения» " |
|
Пример
Найти общее решение уравнения xy' 2y=2x4 .
Решение.
1.Поделим обе части уравнения на x, получим:
y 2yx 2x3
2.Решение будем искать в виде: y(x)=u(x)∙v(x) . Тогда
|
2uv |
2x |
3 |
; |
u v u(v |
2v ) 2x3 |
u v uv |
x |
|
|
x |
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
7 |
|
|
уравнения» " |
|
Найдём функцию v(x), удовлетворяющую |
v |
2v |
0 |
уравнению: |
x |
||
|
|
|
|
dv |
2v |
; |
dv |
|
2dx |
; |
ln |
|
v |
|
2ln |
|
x |
|
; |
|
|
|
|
2 |
; |
v x2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
dx |
x |
v |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
v |
ln |
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда u'x2=2x3; u'=2x; u=x2+С; y=x2 (x2+С )
Ответ: y=x2 (x2+С )
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
8 |
|
|
уравнения» " |
|
Методы решения линейных уравнений
y f(x)y g(x)
Метод 2. Этот общий метод получил название метода вариации произвольной постоянной.
Несмотря на то, что этот метод кажется более громоздким, чем рассмотренный ранее, сама идея этого метода оказалась пригодной для решения линейных уравнений более высокого порядка.
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
9 |
|
|
уравнения» " |
|
Пример
Найти общее решение уравнения xy' 2y=2x4 методом неопределённых коэффициентов.
Решение.
1.Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения:
xy 2y 0; y 2yx ; dyy 2dxx ; dyy 2 dxx ; y Сx2.
2.Общее решение исходного уравнения будем
искать в виде: y(x) С(x)x2.
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
10 |
|
|
уравнения» " |
|
y (x) C (x)x2 2C(x)x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(C |
|
2C(x)x) |
|
2C(x)x2 |
|
|
|||||||
|
|
(x)x2 |
|
|
|
2x |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
C (x)x3 2x4 |
|
|
C (x) 2x |
|
C(x) x2 C |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y(x) x2 (x2 |
C) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ. |
|
y x2 (x2 |
C) |
|
|
|
||||||
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
11 |
|
|
уравнения» " |
|