Геометрический смысл

Свойства определённого

интеграла

1.b cf x dx cb f x dx, с -произвольное число

Замечание. Формула из пункта 4 справедлива и тогда, когда c [a;b].

Определённый интеграл как функция верхнего предела

Рассмотрим интеграл,

x

I x f t dt

a

где x – любое число из промежутка, на котором определена функция f(x).

Если неотрицательная функция, то I(x)=S(x)

площадь криволинейной трапеции на интервале [a,x]

Определённый интеграл как функция верхнего предела

Функция I(x) называется интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что I(a)=0,

b

I(b) f(x)dx I

a

Вычислим производную функции I(x) в точке x. Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке

x при приращении аргумента

x:

Определённый интеграл как функция верхнего предела

x Δx

I(x) = I(x + x) – I(x) = f t dt

x

Как показано на рисунке 1, величина I(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах x

Определённый интеграл как функция верхнего предела

Как показано на рисунке 1, величинаI(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах x

Определённый интеграл как функция верхнего предела

Из сказанного следует формула для производной функции I(x):

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна

значению подынтегральной функции в

является первообразной для функции f(x),

Теорема Ньютона-Лейбница

Пусть F(x) тоже является первообразной

для функции f(x), тогда

b

Доказательство. a f t dt F b F a

a

I(b) – I(a) = F(b) + C – (F(a) +C) = F(b) – F(a).

Теорема Ньютона-Лейбница

Следовательно