Дифференциальное и
интегральное
исчисление
Лекции по математике для студентов I курса
Содержание
Задача о вычислении пути при неравномерном движении
Определённый интеграл
Свойства определённого интеграла
Интеграл с переменным верхним пределом
И.Р.Тимошина "Дифференциальное и |
2 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Путь при неравномерном движении
Проблема!
Известна v(t)- скорость
неравномерного движения на интервале [a,b].
Требуется вычислить пройденный путь.
Если скорость постоянна, то S=v∙t=v∙ (b a).
Путь численно равен площади под графиком скорости.
v
S
a b
И.Р.Тимошина "Дифференциальное и |
3 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Путь при неравномерном движении
Если скорость меняется, то разобьём отрезок [a,b] на n частей, считая, что изменением скорости на каждом участке можно пренебречь.
Путь на каждом участке примерно равен площади прямоугольника.
И.Р.Тимошина "Дифференциальное и интегральное исчисление"
Идея !
Интегральный принцип!
4
Путь при неравномерном движении
Заметим, что чем меньше длина каждого интервала, Интегральный принцип!
тем точнее вычисления.
Весь путь равен площади под графиком функции.
Аналогично, работа, выполненная за определённое время, равна площади под графиком зависимости мощности от времени.
5
И.Р.Тимошина "Дифференциальное и интегральное исчисление"
Определённый интеграл
Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно.
Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x1, x2, x3, , xn-1, удовлетворяющие условию:
a=x0 <x1,< x2< < xn-1<xn=b. Эти числа разбивают промежуток [a;b] на n более мелких промежутков: [a;x1], [x1;x2], [xn-1;b].
И.Р.Тимошина "Дифференциальное и |
6 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Определённый интеграл
На каждом из этих промежутков выберем произвольно по одной точке: c1 [a;x1], c2 [x1;x2], , cn [xn-1;b].
Введем обозначения:
x1 = x1 – a; x2 = x2 –x1; ;
xn = b – xn-1. n
Составим сумму: Sn f ci Δxi
i 1
И.Р.Тимошина "Дифференциальное и |
7 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Интегральная сумма
n
Сумма Sn f ci Δxi
i 1
называется интегральной суммой.
Интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек ci.
Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь
прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 1. Обозначим = max( xi), i = 1, 2, n.
И.Р.Тимошина "Дифференциальное и |
8 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Определённый |
n |
|
Sn f ci Δxi |
||
интеграл |
i 1 |
|
|
||
|
|
|
Определенным интегралом от функции f(x) по
промежутку [a;b] называется предел
I lim Sn
n ;λ 0
если этот предел существует и конечен. |
|
|
b |
x dx |
|
Определённый интеграл обозначают: |
I f |
|
|
|
|
|
a |
|
Число a нижний предел интегрирования, число b верхний предел интегрирования.
И.Р.Тимошина "Дифференциальное и |
9 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Площадь криволинейной трапеции
Пусть непрерывная на отрезке[a,b] функция f(x)>0.
Криволинейной трапецией
называется фигура,
ограниченная сверху линией y=f(x), снизу осью Ox , слева и справа прямыми x=a и x=b.
Из определения интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции
b
S I f x dx
a
И.Р.Тимошина "Дифференциальное и |
10 |
|
|
интегральное исчисление" |
|