Дифференциальное и

интегральное

исчисление

Лекции по математике для студентов I курса

Рекомендуемая литература

Высшая математика для экономистов. / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2000.

Ермаков В.Н. Общий курс высшей математики для экономистов. - М. ИНФРА 2003.

Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по математическому анализу. ВФ СПбГУСЭ, 2008.

Содержание

Первообразная, неопределённый интеграл

Свойства неопределённого интеграла

Таблица основных неопределённых интегралов

Методы интегрирования

Основная задача

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала заданной функции.

Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой

функции по её производной или дифференциалу.

Первообразная

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке этого промежутка F' (x)=f(x).

Нахождение по функции f(x) всех её первообразных является одной из задач интегрального исчисления.

Неопределённый интеграл

Неопределённым интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных

этой функции.

Обозначение: ∫f(x)dx=F(x)+C,

F(x) – любая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная.

Функция f(x) называется подынтегральной

функцией.

Выражение f(x) dx называется подынтегральным

выражением.

И.Р.Тимошина "Дифференциальное и интегральное исчисление"

Свойства неопределённых интегралов

1.∫с∙xdx= с∙∫xdx постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2.∫(f(x) ±g(x))dx= ∫f(x)dx±∫g(x)dx.

3.Пусть F(x) является первообразной для f(x), тогда ∫f(kx+b)dx=F(kx+b)/k+C.

4.∫dF(x)= ∫F ' (x)dx= F(x)+C.

5.(∫f(x)dx) ' =f(x).

6.d(∫f(x)dx) =f(x) dx.

Методы вычисления

интегралов

В основе всех методов поиска неопределённых интегралов лежат различные способы сведения

искомого интеграла к табличному.

Рассмотрим несколько основных способов преобразования неопределённых интегралов:

метод замены переменной;

метод интегрирования по частям;

методы интегрирования рациональных дробей;

метод интегрирования рациональных тригонометрических функций.