Интегралы от простейших дробей
|
|
|
|
|
Ax B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначим |
I x2 |
px q dx |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
p2 |
|
Выделим полный квадрат: x |
2 |
|
|
q |
||||||||||||
|
|
px q x |
|
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Преобразуем числитель: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
B |
|
p |
|
p |
|
|
|
|
p |
B |
Ap |
|
|
|
Ax B A x |
A |
2 |
2 |
A x |
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
11 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
|
|
|
p |
|
B |
Ap |
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
Ap |
|
|
|
|
A x |
2 |
|
2 |
|
A |
d x |
2 |
|
|
|
|
B 2 |
|
|
|
||||||||||
I |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||
|
p |
2 |
|
p |
2 |
2 |
p |
2 |
|
|
p |
2 |
p |
|
2 |
|
p |
2 |
|||||||
|
|
q |
|
|
|
q |
|
|
|
q |
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
4 |
|
|
x |
2 |
|
4 |
x |
2 |
|
|
4 |
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
B |
Ap |
|
|
2x p |
|
|
||
|
|
|
2 |
px q |
|
|
2 |
|
|
|
C |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 ln |
|
x |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4q p2 |
|
4q p2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
12 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Вопрос на засыпку
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
xdx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Найти интегралы: |
1. x2 |
2x 1 |
dx |
|
|
2. 5x2 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2x 1 |
2(x 1) 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1. x2 2x 1 |
|
dx |
|
(x 1)2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 x 1 |
|
(x 1)2 |
dx 2ln |
|
x 1 |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2. |
xdx |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
10xdx;xdx |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
4 |
t 5x |
|
4;dt |
|
dt |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|||||||||
|
|
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
10t |
|
|
|
ln |
|
t |
|
C |
|
ln |
5x |
2 4 |
C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
10 |
10 |
|
|
|
|
|
13 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
интегральное исчисление" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование рациональных тригонометрических функций
Пусть R(t) – некоторая рациональная дробь. Если вместо переменной t в дроби стоит любая тригонометрическая функция, то выражение
называют
рациональной тригонометрической функцией.
К примеру, алгебраическая дробь: 3t2 5t
t 8
тригонометрическая рациональная функция:
3sin2x 5cosx tgx 8
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
14 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Интегрирование рациональных тригонометрических функций
Идея интегрирования таких функций заключается в такой замене переменных, при которых
тригонометрическая рациональная функция превратится в алгебраическую рациональную дробь.
Рассмотрим некоторые подстановки, позволяющие интегрирование рациональных тригонометрических функций свести к интегрированию рациональных дробей.
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
15 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Интегрирование рациональных тригонометрических функций
1. Если у тригонометрической дроби R(t) t=sinx, а подынтегральное выражение имеет вид: R(sinx)∙cosxdx, то замена t=sinx приведёт к интегрированию
алгебраической дроби.
Пример. sin2x cosxdx t sinx,dt cosxdx
t2dt t3 C sin3x C 3 3
2. Если подынтегральное выражение имеет вид: R(cosx)∙sinxdx, то необходима замена t=cosx.
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
16 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Интегрирование рациональных тригонометрических функций
3. Если подынтегральное выражение имеет вид: R(tgx)dx,
то необходима замена t=tgx.
В этом случае x=arctgt; dx=dt/(1+ t2).
4. В общем случае подстановка t tg 2x всегда позволит
преобразовать тригонометрическую дробь в алгебраическую, т.к.: x=2arctgt
dx |
2dt |
sinx |
2t |
1 t2 |
|
|
cosx 1 t2 |
||
1 t2 |
1 t2 |
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
17 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Вопрос на засыпку
Пример.
Найти интеграл
Решение.
dx
2 cosx sinx
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
;cosx 1 t |
2 |
|
|||||||||||||||||
1. |
|
|
|
t tg |
|
;dx |
|
|
;sinx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 cosx sinx |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 cosx sinx |
|
|
2 |
2t |
|
|
1 t2 |
|
|
|
2 2t2 2t 1 t2 |
t2 |
2t 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3. 2 cosx sinx |
2 (t 1)2 |
2 |
2 |
|
arctg |
|
|
|
|
C |
|
2arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
интегральное исчисление" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|