Дифференциальное и
интегральное
исчисление
Лекции по математике для студентов I курса
Содержание
Рациональные дроби и их свойства
Метод неопределённых коэффициентов разложения правильных рациональных дробей на простейшие
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование рациональных тригонометрических функций
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
2 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Рациональные
дроби
Рациональной дробью называется выражение вида
R(x) |
a |
|
xn a |
xn 1 |
... a x a |
0 |
||
|
n |
|
n-1 |
1 |
||||
b |
|
|
|
|
|
|||
an≠0; bm≠0; |
m |
xm b |
xm 1 ... b x b |
0 |
||||
|
|
|
|
m-1 |
1 |
|
||
m и n – целые числа, ai и bi – вещественные числа. |
|
|||||||
Выражение Qn(x)=anxn+an-1xn-1+…+ a0
называется многочленом степени n.
К примеру, 5x3+4x2 3, многочлен третьей степени.
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
3 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Рациональные
дроби
Дробь называется неправильной, если старшая степень числителя n больше или равна старшей степени знаменателя m.
Дробь называется правильной, если старшая степень числителя n меньше старшей степени знаменателя m.
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
4 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Рациональные
дроби
Например, дроби |
|
x2 |
1 |
x2 1 |
|
x3 |
- |
||||||
|
x2 |
|
|
7x2 2x |
|
|
|||||||
неправильные. |
|
1 |
|
x 5 |
|||||||||
Дробь |
x2 |
3x 1 |
- правильная. |
|
|
|
|||||||
x |
3 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
5 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Рациональные
дроби
Теорема. Любую неправильную дробь можно представить в виде двух слагаемых: многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби.
Примеры.
|
|
|
1) |
x2 1 |
|
x2 1 2 |
|
x2 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 1 |
x2 1 |
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2) |
x3 |
1 |
|
(x 1)(x2 x 1) |
|
x2 |
|
x 1 |
|
x2 2x 1 x |
|
(x 1)2 x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 |
1 |
|
(x |
1)(x 1) |
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
x 1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
x |
|
x 1 |
x 1 1 |
|
x 1 1 |
1 |
|
x |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x 1 |
|
x 1 |
|
x 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
интегральное исчисление" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Простейшие рациональные дроби
Простейшими называются дроби вида:
A |
|
A |
|
Ax B |
|
Ax B |
|
|
(x a)n |
|
|
|
|
x a |
|
|
(x2 px q) |
|
|
|
|
|
|
(x2 px q)n |
Замечание. Должно выполняться условие: дискриминант p2 4ac<0.
Теорема. Каждую правильную рациональную дробь можно представить единственным способом в виде суммы простейших дробей.
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
7 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Пример
Разложить правильную дробь простейшие.
Решение.
x2 2x 2 на x3 2x2 8x
1.x3+2x2 8x=x(x2+2x 8)=x(x+4)(x 2)
2.Представим данную дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами:
x2 2x 2 |
|
A |
|
B |
|
C |
|
A(x 2)(x 4) Bx(x 2) Cx(x 4) |
||||
x3 |
2x2 |
8x |
x |
x 4 |
x 2 |
x(x 2)(x |
4) |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
Так как дроби равны и знаменатели этих дробей равны, то равны и числители этих дробей.
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
8 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Пример
3. x2 2x 2 A(x 2)(x 4) Bx(x 2) Cx(x 4)
При x=0 получим: 2= 8А А= 1/4. При x= 4 получим: 26=24В В=13/12
При x=2 получим: 2=12С С=1/6
Ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
2x 2 |
|
1 |
|
13 |
|
1 |
|||
|
x3 2x2 |
8x |
4x |
12(x |
4) |
6(x |
2) |
||||
|
|
|
|
||||||||
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
9 |
|
|
интегральное исчисление" |
|
Интегралы от простейших дробей
|
1. A |
|
|
dx Aln |
|
x a |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x a) n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2. (x a)n |
dx A |
|
n 1 C |
n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Ax B |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
Ap |
|
|
2x p |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. x2 px q |
dx 2 ln |
|
x |
|
px q |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
C |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
4q p2 |
|
4q p2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
И.Р.Тимошина "Дифферениальное и |
10 |
|
|
интегральное исчисление" |
|