Модуль Математический анализ / Практикум Учимся вычислять производные
.doc
Практикум
«Учимся вычислять производные»
Изучите таблицу производных.
Примеры вычисления производных на основе таблицы.
Пример 1.
Вычислим производную функции
.
Эта функция является степенной. Воспользуемся формулой
.
В нашем примере
,
поэтому
.
Ответ:
.
Пример 2.
Вычислим производную функции
.
Эта функция является степенной. Воспользуемся формулой
.
В нашем примере
,
поэтому
Ответ:
.
Пример 3.
Вычислим производную функции
.
Эта функция является логарифмической. Воспользуемся формулой
.
.
Ответ:
.
Проверьте свои навыки работы с таблицей
Изучите правила дифференцирования.
Примеры вычисления производных на основе правил дифференцирования.
Пример 1.
Вычислим производную функции
.
Воспользуемся формулой
.
В нашем примере
;
,поэтому
.
Ответ:
.
Пример 2.
Вычислим производную функции
.
Воспользуемся формулой
.
В нашем примере
;
,
поэтому
.
Ответ:
.
Изучите правила дифференцирования сложных функций.
Примеры вычисления производных на основе правила дифференцирования сложных функций.
Пример 1.
Вычислим производную функции
.
Воспользуемся формулой
.
В нашем примере
;
,
поэтому
.
Ответ:
.
Пример 2.
Вычислим производную функции
.
Воспользуемся формулой
.
В нашем примере
;
,
поэтому
.
Ответ:
.
Пример 3.
Вычислим производную функции
.
Воспользуемся формулой
.
В нашем примере
;
;
,
поэтому
.
Ответ:
.
Пример 4.
Вычислим производную функции
.
Воспользуемся формулой
Вычисление производной методом предварительного логарифмирования
В некоторых случаях вычислить производную без предварительного логарифмирования невозможно.
Продемонстрируем метод на конкретных примерах.
Пример 1.
Вычислим производную функции
.
Так как функция не является табличной и к ней нельзя применить правила дифференцирования, прологарифмируем данное выражение:
;
.
Продифференцируем данное выражение:
Домножив левую и правую части выражения на y, получим:
В ряде случаев метод предварительного логарифмирования упрощает вычисление производной.
Пример 1.
Вычислим производную функции
.
Прологарифмируем данное выражение:
.
Воспользуемся свойствами логарифмов:
.
Продифференцируем данное выражение:
.
Домножив левую и правую части выражения на y, получим:
.
Учитывая, что
,
получим:
