Дифференциальные уравнения
|
) |
0 |
|
первого порядка |
F(x,y, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальное уравнения первого порядка имеет вид: ) 0
Если удаётся разрешить это уравнение относительно старшей производной, то уравнение примет вид :
y f (x, y)
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
11 |
|
|
уравнения» |
|
Пример
Найти, все решения дифференциального уравнения первого порядка
y'=3x2
Изобразить три интегральные кривые этого уравнения.
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные уравнения»
Решение.
Решениями этого уравнения будут все первообразные функции 3x2,т.е. все функции вида x3+С. Для С=0, 1, 1 интегральные кривые имеют вид:
12
Геометрический смысл |
|
|
уравнения |
y f(x,y) |
|
|
|
|
Пусть y=φ(x) решение дифференциального уравнения y'=f(x,y).
Интегральная кривая в каждой точке имеет касательную, угловой коэффициент которой задаётся функцией f(x,y).
y 
x, y) 
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
13 |
|
|
уравнения» |
|
Поле направлений
Можно себе представить, что в каждой точке плоскости построен короткий отрезок касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Тогда получится
чертеж, который называется
полем направлений. Интегральные линии этого уравнения касаются направления, задаваемого полем в этой точке
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
14 |
|
|
уравнения» |
|
Пример. Найти решение уравнения y 2x
Решение. Решение имеет вид: (x) x2 C Это решение содержит произвольную постоянную величину С и называется общим решением. Если постоянной величине С присвоить конкретное значение, то получим частное решение.
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
15 |
|
|
уравнения» |
|
Общее, частное, особое решения
Рассмотрим дифференциальное уравнение
y f (x, y)
Пусть |
x0 , y0 |
некоторая точка из области |
определения функции .
Задача отыскания решения дифференциальногоy(x ) y
уравнения, удовлетворяющего условию называется задачей Коши.
0 0
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
16 |
|
|
уравнения» |
|
Общее, частное, особое решения
Возможны следующие варианты:
через точку x0 , y0 проходит единственная интегральная кривая заданного уравнения;
через точку x0 , y0 не проходит ни одной интегральной кривой;
через точку x0 , y0 проходит семейство интегральных кривых.
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
17 |
|
|
уравнения» |
|
Общее, частное, особое решения
Если задача Коши имеет единственное решение, то это решение называется частным решением дифференциального уравнения .
Семейство всех частных решений дифференциального уравнения называется общим решением.
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
18 |
|
|
уравнения» |
|
Пример. Найти решение уравнения y 2x
Решение. Решение имеет вид: (x) x2 C Это решение содержит произвольную постоянную величину С и называется общим решением. Если постоянной величине С присвоить конкретное значение, то получим частное решение.
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
19 |
|
|
уравнения» |
|
Общее, частное, особое решения
Семейство всех решений дифференциального уравнения называется общим решением.
Общее решение дифференциального
уравнения можно записать либо в явном виде: y= (x,C), либо в неявном виде:
Ф(x,y,C)=0.
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
20 |
|
|
уравнения» |
|