Дифференциальные
уравнения
Лекции по математике
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
1 |
уравнения» |
|
Рекомендуемая литература
Высшая математика для экономистов. / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2000.
Ермаков В.Н. Общий курс высшей математики для экономистов. - М. ИНФРА 2003.
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по математике. ВФ СПбГУСЭ, 2009.
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
2 |
|
|
уравнения» |
|
Содержание
Историческая справкаОсновные понятия
Дифференциальные уравнения
первого порядка, геометрический смысл
Общее, частное, особое решения,
задача Коши
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
3 |
|
|
уравнения» |
|
Историческая справка
Начало развития теории дифференциальных уравнений относится к 17 веку и связано с трудами Ньютона и Лейбница по построению математических моделей механических движений.
В это уравнение наряду с независимой переменной входит сама неизвестная функция и производные этой функции.
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
4 |
|
|
уравнения» |
|
Основные определения и
понятия
Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется
соотношение вида:
F(x, y, y , y ,..., y(n) ) 0
Здесь y – функция, зависящая от x, не известная нам, а x – независимая переменная.
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
5 |
|
|
уравнения» |
|
Основные определения |
|
||
F(x,y, y ,y ,...,y(n) ) 0 |
|||
и понятия |
|||
|
|
||
Некоторые их величин x, y, y , y ,..., yn 1 |
|
||
могут не входить в уравнение
F (x, y, y , y ,..., y (n) ) 0
Но обязательно входит n-я производная.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в запись этого уравнения.
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
6 |
|
|
уравнения» |
|
Вопрос на засыпку
Определите порядок |
Решение: |
дифференциальных уравнений: |
|
1.x2y cos(x+y')+y5=0 |
1.Первого порядка |
2.x2 (y''')4 x(y')5+8=0 |
2.Третьего порядка |
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
7 |
|
|
уравнения» |
|
Основные определения |
|
и |
|
|
|
|
|||
понятия |
|
F(x,y, y ,y ,...,y(n) ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Решением дифференциального уравнения
называется функция y= (x), которая будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество:
F (x, (x), (x), (x),..., (n) (x)) 0
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
8 |
|
|
уравнения» |
|
Пример
Доказать, что функция |
Решение. |
|
φ(x)=sin2x |
φ'(x)=2соs2x |
|
является решением |
φ'' (x)= 4sin2x |
|
дифференциального |
||
4φ(x)= 4sin2x |
||
уравнения |
||
|
||
y''= 4y |
|
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
9 |
|
|
уравнения» |
|
Основные определения |
|
|
|
|
|
(n) |
) 0 |
||
и понятия |
F(x,y, y ,y ,...,y |
|
||
|
|
|
|
|
Задача о нахождении решения
дифференциального уравнения называется задачей интегрирования
данного уравнения.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной
кривой.
© И.Р.Тимошина «Дифференциальные |
10 |
|
|
уравнения» |
|