Свойства
обратных функций
1. |
Графики обратных |
|
|
y=5x |
|||
|
функций |
||
|
|
||
|
симметричны |
y=0.2x |
|
|
относительно прямой |
||
|
линии |
|
|
|
l:y= x. |
|
|
2. |
f -1(f(x)) = x |
y=x |
|
3. |
f ( (f -1y)) = y |
||
|
© И.Р.Тимошина |
31 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Основные
элементарные функции
1.Степенные y=xα
2.Показательные y=ax
3.Логарифмические y=logax
4.Тригонометрические: sin x, cos x, tg x, ctg x;
5.Обратные тригонометрические: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.
© И.Р.Тимошина |
32 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Степенные функции
у=xα
|
y=x , |
|
|
|
|
|
n - чётное |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=x^2 |
|
|
|||
|
параметр α=n, n N |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
X=(-∞, 0) (0,∞) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 211 01 2 3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
y=x-n=1/xn, |
|
|
|
3 x |
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
параметр α= n, n N |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X=(-∞, 0) (0,∞) |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y=x |
|
= |
n |
, n Z |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
||||||
|
|
1/ n |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=x^1/2 |
|
|
||||
|
параметр α=1/n, |
|
6 4 2 0 2 4 6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
X=(0,∞), если n чётное |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
X=(-∞, ∞), n нечётное |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© И.Р.Тимошина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
«Множества. Числовые функции» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n - нечётное |
|
||||||
|
|
|
y=x^3 |
|
|
||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 2 1 01 2 3 |
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
6 |
4 |
|
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
Показательные функции y=ax
y=ax ,a>0, a≠1
X=(-∞, ∞) Основные свойства:
1.ни чётная, ни нечётная;
2.монотонная;
3.ограниченная снизу;
4. непериодическая.
a>1 a<1
|
|
|
y=2^x |
|
|
|
y=0.5^x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
© И.Р.Тимошина |
34 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Логарифмические функции |
|
|
|
|
|
||||||
y=logax |
|
a>1 |
|
|
|
a<1 |
|
|
|
||
y=logax ,a>0, a≠1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
X=(0,∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Основные свойства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
11 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
||
1.ни чётная, ни нечётная; |
11 |
1 3 |
5 |
7 9 |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||
2.монотонная; |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3.ограниченная снизу; |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
4. непериодическая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© И.Р.Тимошина |
35 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Тригонометрические функции sin x, cos x, tg x, ctg x
© И.Р.Тимошина |
36 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Замечание
Тригонометрические функции не являются взаимно однозначными!
Поэтому для них невозможно построить обратные во всей области определения!
Обратные функции строят только на интервалах
монотонности:
для sin x [ /2; /2 ];
для cos x [0; ]; для tg x ( /2; /2); для ctg x (0; ).
Это области главных значений обратных
тригонометрических функций.
© И.Р.Тимошина |
37 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Обратные тригонометрические функции
|
y=arcsin x |
|
y=arccos x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
1.57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.79 |
|
|
|
3.14 |
|
|
|
|
|
|
|
2.36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
1.57 |
|
|
|
0.79 |
|
|
|
|||||
|
0.79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.57 |
|
|
1 |
0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
|
|
|
y arctgx |
|
|
|
|
|
|
1.57 |
|
|
|
6 |
4 |
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
|
1.57 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y arcctgx |
|
|
|
|
|
|
3.14 |
|
|
|
|
|
|
1.57 |
|
|
|
6 |
4 |
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
Вопрос на засыпку
Пример.
Найти и построить функцию, обратную к y=x3.
Решение.
Разрешим y=x3: x= 3
y .
Обозначим:
x независимую переменную,
y значение функции, получим: y= 3 x
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
y=x3 y=x
y=3√x
39
Вопрос на засыпку
Пример.
Найти и построить функцию, обратную к y=x2
Решение. |
|
|
|
1. Функция y=x2 не является взаимно |
|
y=x2 |
y=x |
|
|
|
|
однозначной, поэтому в области оределения |
|
|
|
этой функции построить обратную нельзя |
|
|
|
2. Построим обратную функцию для |
|
|
y=√x |
x [0, ∞), тогда x= . |
|
|
|
Обозначим x независимую переменную, |
|
|
|
значение функции, получим: y= . |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
x
© И.Р.Тимошина |
40 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|