Чётность, нечётность
f(x)=x^2
8
f(x)-четная f(-x)=f(x) для x X. |
f(x) |
|
|
|
4 |
|
|
График четной функции |
|
|
|
|
|
|
|
симметричен относительно оси Оy. |
3 |
0 |
3 |
|
|||
|
|
x |
|
|
|
f(x)=x^3 |
|
|
|
5 |
|
f(x)-нечетная f(-x)=-f(x) для x X. |
f(x) |
|
|
График нечетной функции |
|
|
|
|
2 0 |
2 |
|
симметричен относительно начала |
|
|
|
координат. |
|
5 |
|
|
|
x |
|
© И.Р.Тимошина |
|
|
21 |
|
|
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
|
|
Монотонность
f(x)-монотонно возрастает, если
f(x)
для любых допустимых чисел х1<x2 выполняется неравенство f(x1)<f(x2)
f(x)-монотонно убывает, если для |
|
любых допустимых чисел х1<x2 |
f(x) |
выполняется неравенство f(x1)>f(x2) |
|
|
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
f(x)=x^1/2
4
2
0 5 x
f(x)=-x^1/2
0 |
5 |
2
4
x
22
Ограниченность
Функция f(x) называется
ограниченной, если
существует число M такое, что │f(x)│≤M для x X.
f(x) ограничена снизу, если f(x)≥M для x X.
f(x) ограничена сверху, если f(x)≤M для x X.
f(x)=sin(x)
|
1 |
|
|
f( x) |
|
|
|
10 |
0 |
|
10 |
|
1 |
|
|
|
f(x)=x^2 |
|
|
|
x |
8 |
|
f(x) |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
3 |
|
f(x)=-x^1/2 |
|
|
0 |
5 |
f(x)
2
4
|
x |
© И.Р.Тимошина |
23 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Периодичность
Функция f(x) называется |
|
|
периодической с периодом |
f(x)=sin(x) |
|
Т, если для x X f(x+Т)= |
1 |
|
|
|
|
f(x). |
|
|
f(x) |
|
|
10 |
0 |
10 |
Заметим, что если Т - |
|
|
период функции то число nТ |
1 |
тоже является периодом этой функции, если n Z.
x
© И.Р.Тимошина |
24 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Вопрос на засыпку
Описать
основные свойства функций, изображённых на графиках
Решение. |
|
Функция на рис. а) |
|
чётная, |
|
немонотонная, |
|
ограниченная |
|
снизу, |
|
непериодическая. |
|
© И.Р.Тимошина |
25 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Сложная функция.
Пусть X, U,Y - числовые множества, на которых заданы функции: u=g(x); y=f(u).
Объединив эти функции, получим: y=f(g(x));
Такое правило называется сложной функцией (суперпозицией функций, функцией от функции).
х X |
u U |
y Y |
|
Правило g |
Правило f |
К примеру, пусть u=sinx, y=lnu, тогда y= ln (sinx) сложная функция.
© И.Р.Тимошина |
26 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Обратная функция
Пусть числовая функция y =f(x) отображает множество X на множество Y.
Предположим, что каждому значению y соответствует единственный аргумент x.
Обратная функция
f -1 - это правило,
с помощью которого, задав любое значение функции у Y можно найти аргумент x X, такой, что y =f(x).
© И.Р.Тимошина |
27 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Взаимно однозначные
функции
Не является взаимно |
Взаимно однозначная |
однозначной |
|
Обратную функцию можно построить только для |
|
взаимно однозначной функции или в той части |
|
области определения, в которой функция взаимно |
|
однозначная!! |
|
© И.Р.Тимошина |
28 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Вопрос на засыпку
Определите
к каким из приведённых на графиках функций можно построить обратные во всей области определения.
© И.Р.Тимошина |
29 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|
Вопрос на засыпку
Пример.
Найти функцию, обратную к функции y=5x.
Решение. x= 51 y.
Другими словами, для функции y=5x обратная функция задаётся правилом «бери любое число и
умножай его на 1 .
Если аргумент этой функции обозначать как , а
5 x
значение как y, то эта же самая функция примет вид: y= 51 x.
© И.Р.Тимошина |
30 |
|
|
«Множества. Числовые функции» |
|