Тема 2. Сложные проценты
Краткое теоретическое обоснование
В средне- и долгосрочных финансовых и коммерческих операциях проценты могут выплачиваться не сразу после их начисления, а присоединяться к сумме долга. В этом случае для наращения применяют сложные проценты.
При начислении сложных процентов (compound interest) принимается такой способ, при котором за базу начисления процентов принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования. В этом случае часто говорят, что проценты начисляются на проценты.
В отличие от простых процентов база для начисления сложных процентов не остается постоянной, а увеличивается с каждым шагом во времени. Наращение по сложным процентам представляет собой последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.
Наращенная сумма по сложным процентам рассчитывается по формуле S=Р(1+r)t, где t – количество периодов начисления.
Пример 2.1. Какой величины достигнет величина долга, равного 1 млн. руб. через пять лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?
S=1 000 000(1+0,155)5=2 055 464,22 руб.
В договорах обычно указываются годовая ставка r и количество начислений процентов m в течение года. Это означает, что базовый период составляет год, деленный на m, а ставка сложных процентов для периода равна r/m. Формула для сложных процентов с учетом знаков финансовых функций Excel приобретет вид: S+Р(1+r/m)t=0. Параметр t измеряется в периодах. Если начисление происходит k лет, то формула приобретает вид S+P(1+r/m)km=0.
Помимо фиксированных
во времени процентных ставок применяют
«плавающие»
ставки
(floating
rate).
Сумма наращения с переменными ставками
определяется по формуле:
,
где
– последовательные во времени значения
процентных ставок;
– периоды действия соответствующих
ставок.
Пример 2.2. Ссуда выдана на 5 лет. Фиксированная часть процентной ставки установлена в 12% годовых плюс надбавки (маржа) 0,5% в первые два года и 0,75% - в остальные. Найти множитель наращения.
Множитель наращения составит:
q=(1+0,125)2(1+0,1275)3=1,81407
Часто период
начисления процентов не составляет
целое число лет. В этом случае для
начисления применяют два метода. При
общем методе расчет ведется по формуле
сложных процентов. При смешанном методе
за целое число лет проценты начисляют
по формуле сложных процентов, а за
дробную часть периода – по формуле
простых процентов:
,
гдеa+b=t;
a
– целое
число периодов; b
– дробная часть периода t.
Порядок выполнения работы
Для расчетов задач начисления сложных процентов используем тот же алгоритм работы и финансовые функции, что и для простых процентов.
Пример 2.3. Рассчитать будущее значение вклада 1000 долл. через 1, 2, 3, 4, 5 лет при годовых процентных ставках 10 %, 20 %, 30 %, 40 %, 50 %. Дополнительные поступления и выплаты отсутствуют.
В ячейку В1 поместим величину начального значения вклада. В ячейки B2:G2 разместим числа 0, 1,..., 5, в ячейки АЗ:А7 величины 10 %, 20 %,..., 50 % (эти числа заносятся с использованием приемов генерации арифметических прогрессий). Нужно табулировать функцию двух переменных (процентная ставка и количество лет), зависящую от параметра – начального вклада. Введем в ячейку ВЗ формулу =БС ($АЗ, В$2, , -$В$1). Формула копируется в остальные ячейки интервала B3:G7.
Пример 2.4. Ссуда в 20000 долл. дана на полтора года под ставку 28 % годовых с ежеквартальным начислением. Определить сумму конечного платежа.
Здесь базовый период — квартал. Срок ссуды составляет 6 периодов (4 квартала в году, срок полтора года), за период начисляется 7 %=28 %/4. Тогда формула, дающая решение задачи, имеет вид: = БC (28 % / 4, 4 * 1.5, , 20000). Она возвращает результат -$ 30014.61.
Задачи
4. Банк принимает вклад на срок 3 месяца с объявленной годовой ставкой 100 % или на 6 месяцев под 110 %. Как выгоднее вкладывать деньги на полгода: дважды на три месяца или один раз на 6 месяцев?
5. Сумма 2000 руб. размещена под 9 % годовых на 3 года. Проценты начисляются раз в квартал. Какая сумма будет на счете?
6. Какова сумма долга через 26 месяцев, если его первоначальная величина 500 000 долл., проценты сложные, ставка – 20 % годовых, начисление поквартальное? Провести вычисления общим и смешанным методами.
7. В банке получен кредит на сумму 250 млн. руб. Годовая процентная ставка составляет 9,5% при принятой продолжительности года 360 дней. Провести вычисления величины суммы накопленного долга общим и смешанным методами при различном периоде кредитования, продолжительность которого:
равна целому числу лет (без дробной части) – 3 года;
равна одному году;
равна меньше года – 0,25 года;
равна целому числу лет + доля года – 2 года и 270 дней.
Сравнить полученные значения по вариантам и выявить закономерности в различии результатов.