§7. Задача о кратчайшем пути на графе. Алгоритм Дейкстры

Напомним, что сетью называется пара N=(G,α), где G – орграф, а α – функция из множества вершин графа в множество действительных чисел. Другими словами, каждой дуге графа поставлено в соответствие некоторое неотрицательное число, которое в данном случае называется длиной дуги. Введем длину пути как сумму длин дуг, составляющих путь. Расстоянием d(u,v) от вершины u до вершины v называется длина кратчайшего пути из u в v. Если нет ни одного пути из u в v, то считают d(u,v)=∞. Расстояние от u до u равно нулю.

Для сети N возникает задача нахождения расстояния d(u,v) для данных вершин u и v и соответствующего кратчайшего пути. Известно несколько способов решения этой задачи. Мы рассмотрим один из них, основой которого является алгоритм Дейкстры. Он вычисляет расстояние от фиксированной вершины v₀ до всех остальных вершин сети.

Прежде, чем привести описание алгоритма, введем необходимые обозначения. Пусть N=(G,α) – сеть, v₀ – фиксированная вершина этой сети, v₁,…,v_m – остальные вершины. На множестве пар вершин (u,v) введем функцию L(u,v) следующим образом:

L(u,v)=	α(e), если e – дуга с началом в u и концом в v,
	∞ – если такой дуги не существует.

В описании алгоритма участвует еще некоторое подмножество S множества V вершин графа. В ходе выполнения алгоритма вершины последовательно исключают из S, до тех пор, пока не останется ни одной, и вычисляют величины d(v_i), равные кратчайшему пути из v₀ в v_i , не содержащему вершин из S. Алгоритм также имеет графическую реализацию, в которой множеству S соответствуют неокрашенные вершины, а окрашивание – это исключение вершины из S. Итак, дадим формальное описание алгоритма Дейкстры.

Шаг 1. (инициализация). Положить S:=V\{v₀} (то есть окрасить вершину v₀), d(v_i)=∞ для всех i=1,…,m, положить y= v₀.

Шаг 2. Для всех vS (т.е. для всех неокрашенных вершин) пересчитать d(v) по формуле: d(v) =min{ d(v), d(y)+L(y,v)} . Если все d(v)= ∞, перейти к шагу 5 (это означает, что в графе отсутствуют пути из v₀ в неокрашенные вершины).

Шаг 3. Выбрать в S вершину w, для которой величина d(v) минимальна, и положить S:=S\{w}, т.е. окрасить вершину w. Окрасить дугу, ведущую в вершину w из вершины, которая была взята в качестве y последний раз, когда в менялось значение d для вершины w . Положить y= w. Если S не пусто, перейти к шагу 2, иначе к шагу 4.

Шаг 4. Конец работы алгоритма.

При графической реализации алгоритма для графа будет построено покрывающее дерево с корнем в вершине v₀ (если оно существует). Если требуется определить не сам кратчайший путь, а лишь его длину, то можно не проводить окрашивание, а только вычислять на каждой итерации множество S . Расчет условно оформлять в виде таблице, как показано в следующем примере.

Пример 1. Для графа, изображенного на рис. 37, найти расстояния от вершины v₀ до остальных вершин и построить дерево кратчайших путей с корнем в v₀ .

Рис. 37.

Работа алгоритма будет иллюстрироваться заполнением приведенной ниже таблицы. Кроме того, для каждой строки таблицы приводится рисунок, соответствующий графической реализации алгоритма; на этом рисунке окрашенные вершины изображаются черным кружком, окрашенные ребра выделены жирными линиями.

№	y	d(v1)	d(v2)	d(v3)	d(v4)	d(v5)	Рисунок
0	v0						Рис.38
1	v0	4	1				Рис.39
2	v2	3			5		Рис.40
3	v1			4	5	8	Рис.41
4	v3				5	8	Рис.42
5	v4					8	Рис.43

Строка с номером ноль соответствует состоянию переменных после выполнения шага 1. Клетка d(v_i) заполняется только для вершин, входящих в S. Пока это все вершины, кроме v₀. Строка номер 1 показывает состояние переменных после выполнения шага 2. Действительно, L(v₀, v₁)=4 (см. рис.37), следовательно, новое значение для d(v₁) есть min(4, ∞)=4. Аналогично вычисляются остальные значения d(v_i). Наименьшим из них является d(v₂)=1 (выделено жирным шрифтом), следовательно, на шаге 3 вершина v₂ будет принята в качестве w, окрашена и исключена из S. Значение d(v₂) изменилось последний раз при переходе от строки 0 к строке 1, в строке 1 стоит y= v₀, значит, окрашиваем ребро, ведущее из v₀ в v₂ (см. рис. 39). После этого присваиваем переменной y значение v₂, и, так как есть еще неокрашенные вершины, переходим опять к шагу 2. На этом первый проход алгоритма заканчивается. Заметим, что d(v₂)=1 является расстоянием от v₀ до v₂.

Рис. 38.	Рис. 39.	Рис. 40.

При втором проходе на шаге 2 снова пересчитываются значения d(v_i) для неокрашенных вершин. (Заметим, что фактически значения d(v_i) нужно пересчитывать лишь для вершин, которые имеют входящее ребро из вершины y, так как для остальных неокрашенных вершин L(y,v_i)=∞ ). Результат приведен в строке 2 таблицы. Минимальным является d(v₁)=3, поэтому на шаге 3 вершина v₁ будет окрашена и исключена из S. Кроме того, будет окрашено ребро, соединяющее v₂ и v₁ (рис. 40). После этого переменная w получает значение v₁ и мы снова переходим ко второму шагу.

На третьем проходе алгоритма после пересчета d(v_i) окрашивается вершина v₃ и ребро, ведущее в неё из вершины v₁ (рис. 41).

Рис. 41	Рис. 42	Рис.43

На четвертом проходе получаются значения, приведенные в строке 4. Минимальным является d(v₄)=5. Последний раз значение d(v₄) менялось при переходе от строки 1 к строке 2, в строке 2 было y=v₂ , следовательно, нужно окрасить ребро, соединяющее v₂ с v₄ (рис. 42). Аналогично, на пятом проходе окрашиваем ребро, соединяющее v₅ с v₁. На этом работа алгоритма заканчивается, получившееся дерево кратчайших путей показано на рис. 43, расстояния от до остальных вершин выделены в таблице жирным шрифтом.

Алгоритм Дейкстры может быть применен и для поиска кратчайшего пути в неориентированном графе, для этого нужно в определении функции L(u,v) учитывать все ребра.

Пример 2. Найти расстояния от вершины v₁ до остальных вершин и построить дерево кратчайших путей для следующего графа:

Результаты работы алгоритма приведены в таблице, дерево кратчайших путей – на рис. 44.

N	y	d(v2)	d(v3)	d(v4)	d(v5)	d(v6)	d(v7)	d(v8)	d(v9)
0	v1								
1	v1	2	4	3					
2	v2		4	3	12				
3	v4		4		10	12	16		
4	v3				10	12	16		
5	v5					12	16	22	
6	v6						16	22	28
7	v7							22	26
8	v8								24

Рис. 44.