Министерство образования и науки российской федерации

Санкт-Петербургская государственнаяакадемия сервиса и экономики

Кафедра «Математика и математические методы в экономике»

А.Л. Пирозерский

Л.П. Пирозерская

МАТЕМАТИКА

Основы ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

Методические указания по изучению курса

Санкт-Петербург

2004

Одобрены на заседании кафедры «Математика и математические методы в экономике», протокол №10 от 07.05.2002 г.

Утверждены Методическим Советом ИЭУПС, протокол №24 от 28.05.2002 г.

Математика. Основы дискретной математики. Методические указания по изучению курса. – СПб.: Изд-во СПбГАСЭ, 2004. – 39 с.

В работе рассмотрены основные понятия теории графов и её приложения к исследованию линейных систем и задачам минимизации и сетевого планирования. Рассмотрены с подробными объяснениями примеры решения задач различной сложности. Имеются задачи для самостоятельной работы.

Данные методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения.

Составители: канд. физ.-мат. наук, доц. А.Л. Пирозерский;

ст. преп. Л.П. Пирозерская

Рецензент: ст. преп. И.Ю. Попова

 Санкт-Петербургская государственная академия сервиса и экономики

2004 Г.

Содержание

Содержание 3

§1. Основные понятия и определения 4

§2. Деревья, остовы, разрезы 5

§3. Ориентированные графы 7

§4. Уравнения и графы 9

§5. Правила упрощения орграфов для систем уравнений 11

§6. Построение нормализованного графа 16

§7. Задача о кратчайшем пути на графе. Алгоритм Дейкстры 22

§8. Сетевое планирование 26

§9. Задачи для самостоятельной работы 37

Литература 42

§1. Основные понятия и определения

Графом называется совокупность точек, называемых вершинами, и соединяющих их линий, которые называются ребрами. На рис. 1 изображен граф, у которого 5 вершин и 7 ребер.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ребра, имеющие одинаковые концевые вершины, называются параллельными (e₂. e₃ на рис.1). Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей (e₇ на рис.1). Вершина и ребро называются инцидентными друг другу, если вершина является для этого ребра концевой точкой. Две вершины, являющиеся концевыми для некоторого ребра, называются смежными вершинами. Два ребра, инцидентные одной и той же вершине, называются смежными ребрами. Например, на рис. 1, вершина v₃ и ребро e₆ инцидентны друг другу, v₁ и v₂ – смежные вершины, e₅ и e₂ – смежные ребра.

Граф называется полным, если любые две его различные вершины соединены ребром, и он не содержит параллельных рёбер.

Маршрутом в графе называется последовательность ребер, ведущая от некоторой начальной вершины v_i в конечную вершину v_j, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину. Маршрут называется путем, если все составляющие его ребра различны. Например, в графе, изображенном на рис. 1, последовательность ребер (e₁, e₄, e₃, e₂, e₆, e₇) образует путь, ведущий от вершины v₁ к вершине v₅. Циклом называется путь, начальная и конечная вершины которого совпадают. На рис. 1 ребра (e₁, e₄, e₂) образуют цикл. Путь (цикл) называется простым, если он не проходит ни через одну вершину более одного раза. Длиной пути (цикла) называется число содержащихся в нем рёбер.

Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует путь, их соединяющий. В противном случае граф называется несвязным. Любой несвязный граф Г является совокупностью связных графов, обладающих тем свойством, что никакая вершина одного из них не связана путем ни с какой вершиной другого. Каждый из таких графов называется компонентой графа Г. Граф, изображенный на рис. 1, является связным, а на рис. 2 – несвязный и состоит из 2 компонент.

Рассмотрим граф Г=(V,E) с множеством вершин V и множеством ребер E. Граф Г'=(V', E') называется подграфом графа Г, если V' и E' являются подмножествами V и E, причем ребро содержится в E' только в том случае, если его концевые вершины содержатся в V'.

Эйлеровым путем (циклом) графа называется путь (цикл), содержащий все ребра графа ровно один раз. Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым графом. Можно доказать, что граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда он связен и все его вершины имеют четную степень.

Гамильтоновым путем (циклом) графа называется путь (цикл), проходящий через каждую вершину в точности по одному разу. Граф, обладающий гамильтоновым циклом, называется гамильтоновым. Достаточным условием гамильтоновости является полнота графа.