Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Исследование уравнения второй степени

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2016

Размер:

877.52 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

§ 0. Исследование уравнений второй степени.

0.1. Квадратное уравнение с двумя неизвестными.

Уравнение второй степени (квадратичное или квадратное уравнение) с двумя неизвестными имеет вид

	q (x )2			2q				x x q				(x )2		2q x			2q x		q 0	(1)
	11	1					12	1	2		22		2		1	1	2	2	0
при условии, что (q )2			(q				)2	(q		)2 0 (хотя бы один из коэффициентов при квад-
	11				12				22
ратах отличен от нуля).
Выражение (x , x ) q					(x )2			2q			x x		q		(x )2	называется квадратичной формой
1	2		11			1			12		1	2	22		2

от двух переменных. Каждое слагаемое этой формы имеет вторую степень (степенью одночлена называется сумма показателей степеней у неизвестных). Многочлены с таким свойством называют однородными многочленами второй степени. Формально однород-

ность степени k определяется равенством (tx ,tx			) tk (x , x ) .
	1	2	1	2
q	q		и вектор x (x1		x
Используя симметричную матрицу Q 11	12		и вектор x (x1		, x2 ) 1	, квадра-
q21	q22				x2

тичную форму можно записать в следующем виде:

(x1, x2 ) (x) Qx, x .

Здесь в правой части равенств круглые скобки и запятая означают стандартное скалярное умножение. Симметричность матрицы означает, что q12 q21 , и именно поэтому в квад-

ратичной форме присутствует коэффициент 2 перед произведением x1x2 .

Упражнение 1. Проверьте, что Qx, x q11(x1)2 2q12 x1x2 q22 (x2 )2 .

Выражение f (x1, x2 ) q1x1 q2 x2 f (x) q, x образует линейную форму (однородный многочлен первой степени), здесь вектор q (q1,q2 ) . Слагаемое q0 называется

свободным членом уравнения. В векторно-матричных обозначениях квадратное уравнение принимает вид

Qx, x 2 q, x q0 0 .

(2)

Квадратные уравнения с двумя неизвестными делятся на три типа, в зависимости от знака определителя матрицы Q . Если detQ q11q22 (q12 )2 0, то уравнение имеет эллиптический тип, если detQ 0 , то тип уравнения гиперболический, а если detQ 0 , то уравнение имеет параболический тип.

Упражнение 2. Выпишите матрицу Q и определите тип уравнения

3(x )2	5x x 4(x )2			6x 3x 7 0 .
1	1	2	2	1	2

	Q				.

Под геометрическим образом уравнения с двумя неизвестными понимают множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению. В частности, геометрическим образом линейного уравнения a1x1 a2 x2 a0 0 , (a1)2 (a2 )2 0, является

прямая линия на плоскости. В таблице перечислены все возможные геометрические образы квадратного уравнения с двумя неизвестными.

Тип уравнения	Невырожденные случаи	Вырожденные случаи

Эллиптический	Эллипс, окружность	Точка, пустое множество

Гиперболический	Гипербола	Пара пересекающихся прямых

Параболический	Парабола	Пара параллельных прямых, одна
Параболический	Парабола	прямая, пустое множество
		прямая, пустое множество

В следующей таблице приведены, так называемые канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы.

Окружность			(x )2 (x )2 R2
					1			2
		(x )2				(x )2		1,	a b 0 ,
	1						2
Эллипс		a2					b2
	a – большая, а b – малая полуси.

				(x )2				(x )2
					1			2	1,
Гипербола				a2				b2	1,
	a ‒ действительная, b ‒ мнимая полуоси

Парабола		(x )2					2 px ,		p 0
			2					1

Канонической системой координат будем называть любую правую прямоугольную си-

стему, в которой уравнение кривой имеет канонический вид.

Вопрос. Сколько существует канонических систем координат у окружности, эллипса, гиперболы и параболы?

Замечание. По еще не исчезнувшей традиции квадратное уравнение с двумя неизвестными часто записывают в следующем виде:

Ax2 2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F 0 .

В этих обозначения матрица Q BA CB , ее определитель det Q AC B2 .

Упражнение 3. Какой тип имеет уравнение с двумя неизвестными x2 2x 4 0 ?

Идея исследования квадратного уравнения состоит в поиске такой системы прямоугольных координат, в которой оно становится каноническим уравнением одной из перечисленных кривых.

0.2. Исследование частного случая q12 0 .

В рассматриваемом случае уравнение не содержит произведения неизвестных и имеет вид

	q (x )2			q		(x )2 2q x 2q x										q 0 ,							(q )2 (q )2 0.		(3)
	11		1	22		2				1	1			2	2			0					11	22
	q			0
Матрица Q			11	имеет диагональный вид, и ее диагональные элементы являются
			0	q22
собственными числами матрицы. Для дальнейшего удобства обозначим q11 ,																									q22 ,
понимая под и собственные числа матрицы Q . Заметим,																								что detQ q11q22	.
Исследуемое уравнение принимает вид:
			(x )2 (x )2					2q x 2q x										q		0 , 2 2 0 .					(4)
				1		2					1		1		2	2		0
0.2.1. Случай 0 .
Условие 0 означает, что оба числа и отличны от нуля.
Следующее вычисление называется выделением полного квадрата:
				a2 2ab a2 2ab b2 b2 (a b)2 b2 .
Применяя эту процедуру, получаем:
						(x )2		2q x x x													2			,
						1						1	1			1		1O					1
						(x )2		2q x x x														2	.
						2					2		2			2		2O						2
Уравнение (4) преобразуется к виду
						x x						2 x						x			2		,		(5)
						1			1O						2			2O
	q				q				(q )2					(q )2
где x	1	, x				2	и			1					2		q		(эти другие похожие формулы
где x		, x					и										q		(эти другие похожие формулы
1O			2O															0

учить не нужно!).

Вводим новые координаты формулами (из соображений дальнейшего удобства новые координаты отмечены двумя штрихами)

	x x		x	,
	1	1	1O
x x			x .		(6)
					(6)
	2	2	2O

Преобразования координат (6) называются параллельным переносом или сдвигом, при этом начало новой системы координат находится в точке O (x1O , x2O ) . Обратные к (6) преобразования задаются формулами

	x x		x	,
	1	1	1O
x		x x			.
	2	2	2O

Иллюстрация переноса прямоугольных координат:

x2	x
	2

(7)

В новых координатах уравнение (4) принимает следующий вид:

(x )2	(x )2	.	(8)
1	2

Дальнейшее исследование будет зависеть от соотношений между числами , и .

Случай 0 разбивается на два случая.

1) 0 (эллиптический случай).

Условие 0 означает, что числа и имеют одинаковый знак.

а) Допустим, что 0

и все три числа ,

и имеют одинаковый знак. Тогда

0 и

0 . Уравнение (8) можно переписать в виде

(x )2

(9)

где a

, b

Геометрическим образом уравнения (9) является эллипс при a b с центром в точке O

или, если a b , окружность с центром в точке O и радиусом R a .

Если a b , то система координат {O , x , x } каноническая, и параметры эллипса a a ,
1	2

b b .

Если a b , то система координат {O , x , x } не является канонической. Для перехода к

1 2

канонической системе координат понадобится еще одно преобразование, которое имеет вид:

	x x ,
	1	2	(10)
x x .			(10)
x x .
	2	1

Фактически происходит переименование координатных осей, вторая ось становится первой, а первая ‒ второй. Но обратите внимание на знак минус во второй строке. Его назначение ‒ сохранить ориентацию системы координат. Действительно, в этом случае матрица

0 1 1

перехода (от старых координат к новым) имеет вид 1 0 , ее определитель равен ,

и ориентация нового базиса (новой системы координат) совпадает с ориентаций старого базиса (старой системы координат).

Иллюстрация преобразования (10):

x	x
1	2


x	O
x		x1
2

Из рисунка видно, что новая система координат получается при повороте исходной системы на 900 .

Упражнение 4. Напишите преобразование координат, обратное к преобразованию (10)

В результате применения преобразования (10) получаем каноническое уравнение эллипса

(x )2	(x )2	1	с параметрами a b , b a .
1	2
b2	a2

Случай a b возникает при условии | | | | . Заметив это обстоятельство, удобно объ-

единить сдвиг и поворот на 900 , вводя новые координаты формулами

	x x	x		,
	1 2	2O					(11)
x (x x					) x x	.	(11)
x (x x					) x x	.
	2	1	1O		1 1O

Иллюстрация преобразования координат (11):

x2	x
	1
x	O
2
O	x1
	x1

б) Допустим, что 0 и знак числа противоположен знаку чисел и . Тогда уравнение (8) не имеет решений, так как знаки левой и правой частей уравнения противоположные. Геометрическим образом уравнения (8) является пустое множество.

в) Если 0	, то уравнение (8) имеет единственное решение x 0 ,	x 0 . Гео-
	1	2

метрическим образом уравнения (8) является точка O ‒ начало новой системы координат.

Замечание. Общее уравнение окружности (x1 x1C )2 (x2 x2C )2 R2 после раскры-

тия скобок принимает вид x12 x22 2x1C x1 2x2C x2 (x1C )2 (x2C )2 R2 0, не содержащий произведения переменных. Поэтому условие отсутствия в квадратном уравнении произведения неизвестных вместе с равенством коэффициентов при квадратах является необходимым для того, чтобы геометрическим образом уравнения была окружность.

Вопрос. Является ли это условие достаточным для того, чтобы геометрическим образом уравнения была окружность? Если нет, то приведите пример его недостаточности.

2) 0 (гиперболический случай).

Условие 0 означает, что числа и отличны от нуля и имеют противоположные знаки. После выделения полных квадратов и перехода к новым координатам уравнение (4) преобразуется к виду (8).

	а) Допустим, что 0 и числа и имеют одинаковый знак. Тогда	0 ,

0	и уравнение (8) можно переписать в виде

			7
(x )2	(x )2	1,
1	2		(12)
a2	b2		(12)

где a , b .

В этом случае получаем каноническое уравнение гиперболы с параметрами a a , b b .

	б) Допустим, что 0	и числа и		имеют одинаковый знак. Тогда		0 ,

0	и уравнение (8) можно переписать в виде



			(x )2	(x )2	1,
			1	2		(13)
			a2	b2		(13)

где a , b .

Применив преобразование (10), получаем каноническое уравнение гиперболы

(x )2	(x )2	1
1	2	1
1	2
b2	a2

с параметрами a b и b a .

в). В случае, когда 0 , уравнение (8) легко преобразуется к виду


(x )2	(x )2	. Полученное уравнение равносильно паре уравнений x	x ,
2	1	2	1

каждое из которых определяет прямую линию, проходящую через новое начало координат O . В итоге получаем геометрический образ уравнения в виде пары пересекающихся прямых.

0.2.2.Случай 0 (параболический случай).

Условие означает, что одно из чисел или равно нулю, а другое нет. Для определенности будем считать, что 0 и 0 . В данном случае уравнение (4) принимает вид

(x2 )2 2q1x1 2q2 x2 q0 0 .

Применяя выделение полного квадрата, преобразуем это уравнение к виду

				x x		2 2	q1	x ,
				x x		2 2		x ,
					2 2O			1
	q	,	(q )2	q
где x	2		2	0	.
где x			2		.
2O			2

Теперь продолжение будет зависеть от коэффициента q1 .

а) Если q1 0 , то выносим в правой части уравнения за скобку множитель

			x x		2 2	q1	x x	.
			x x		2 2		x x	.
			2 2O				1 1O

		(q )2	q
Здесь x		2	0	.
Здесь x				.
1O	2q	2q1	2q1
	2q	2q1	2q1

А теперь вводим новые координаты формулами

2q1 :

(14)

Начало новой системы координат в точке O с координатами x1O , x2O .

В новой системе координат получаем уравнение

(x )2

2q1

x .

Если

0 , то имеем каноническое уравнение параболы с параметром p

Если окажется, что

0 , то, применяя преобразование

x x ,

(15)

снова получим каноническое уравнение параболы

(x )2

2q1

x с параметром

Иллюстрация преобразования (15):


x		x
	O
1		1

Преобразование (15) меняет направления координатных осей. Из рисунка видно, что исходная система координат поворачивается на 1800 , сохраняя ориентацию.

б) В случае, когда q 0 , получаем уравнение x								x		2 . Применяя парал-
				1			2	2O
	x	x ,
	1		1		вдоль оси Ox2 (при этом начало координат перемеща-
лельный перенос	x	x		x	вдоль оси Ox2 (при этом начало координат перемеща-
	x	x		x
	2		2	2O
ется в точку O (0; x			) , преобразуем уравнение к виду (x )2						. Продолжение иссле-
	2O							2
дования будет зависеть от величины .
б1) Если 0						2	не имеет решений и геометрический образ
б1) Если 0		, то уравнение (x2 )					не имеет решений и геометрический образ
уравнения является пустым множеством.
б2) Если 0						2
б2) Если 0		, то уравнение (x2 )					0 имеет единственное решение x2 0 ,

определяющее на плоскости прямую линию (координатную ось).

б3) Если 0
		2		, которые
	, то уравнение (x2 )		имеет два решения x2

определяют на плоскости пару прямых, параллельных оси абсцисс.

Случай, когда 0 и 0 рассматривается аналогично. В невырожденном случае (ес-

ли q	0 ) возникает уравнение (x )2	2q2	x , геометрическим образом которого яв-

2	1		2

ляется парабола. Для перехода к каноническому уравнению переименовываем координаты (преобразование (10)). В результате исследуемое уравнение будет иметь практически тот

же вид (x )2	2q2	x , как и в случае 0 , 0 .

2		1

Мы закончили анализ уравнения второй степени, в котором отсутствует произведение неизвестных. Инструментом служил, в основном, параллельный перенос системы координат. С его помощью в невырожденных случаях возникали уравнения известных кривых ‒ эллипса, гиперболы и параболы. Исследование уравнения, в котором присутствует произведение неизвестных, оказывается более сложным. Оно потребует преобразования поворота прямоугольной системы координат. Оказывается, что всегда в результате подходящего поворота в новых координатах уравнение (1) не будет содержать произведения неизвестных.

Примеры (похожие задачи будут на экзамене).

Найти каноническое уравнение кривой и формулы перехода к канонической системе координат и обратно. Сделать рисунок.

Пример 1. 2x2 y2 6x 4y 8 0 .

Выделение полных квадратов:

	2	6x 2 x	2	3x 2		2		3		9	9			3 2	9
2x					x		2		x			2	x			.
								2		4					2
											4			2

y2 4 y y2 4y 4 4 y 2 2 4 0.

Подстановка в уравнение и приведение подобных членов.

				3 2						2			1
2		x				y 2								.
2		x				y 2							2	.
				2									2
Попытка получить каноническое уравнение.
			3		2
	x						y 2		2
	x		2						2
			2								1 ‒ эллипс.
		1					1				1 ‒ эллипс.
		1					1

		4					2
Здесь a						1	b	1				‒ уравнение не является каноническим.
						2
									2
									2

Переход к канонической системе координат и обратно.

x y 2,						3
					x y
					x y
	3		3			2 .
y x		x		.	y x 2.
y x	2	x	2	.	y x 2.
	2		2

					0		1
Проверка ориентации: матрица перехода Q 1						0		, det Q 1.
Каноническое уравнение	x 2		y 2		1, a	1		, b	1	.
		1		1					2
						2
						2
	2		4
Рисунок
	y
										x

	O				1	2			3
					x
	1

	y
2	O
	O

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика 2 семестр

#
15.02.2016139.79 Кб53ДЗ Предел последовательности.pdf
#
15.02.2016108.97 Кб54ДЗ Ряд Тейлора.pdf
#
15.02.2016170.44 Кб52ДЗ Степенные ряды.pdf
#
15.02.2016237.68 Кб51Дифференцирование функций пример.pdf
#
15.02.2016239.18 Кб51Дифференцирование функций.pdf
#
15.02.2016877.52 Кб55Исследование уравнения второй степени.pdf
#
15.02.2016398.01 Кб55Неопределенный интеграл.pdf
#
15.02.2016504.79 Кб62Определенный интеграл.pdf
#
15.02.2016500.89 Кб54Оптимизация функции.pdf
#
15.02.2016396.23 Кб53Предел последовательности (задача 1).pdf
#
15.02.2016127.23 Кб54Предел функции (варианты для тренировки).pdf