Математика 2 семестр / Математика 2 семестр / График функции
.pdf
Исследовать функцию и построить график, f (x) |
(x 1)3 |
|
|
. |
|
|
||
|
x 4 |
|
Этап 1. Общие свойства функции (все, что можно узнать без производных).
1.1. Область определения функции (подразумевается, что она совпадает с областью допустимых значений формулы): ( ; 4) ( 4; ) .
4
"Концы" области определения (четыре конца): ; 4 0 (слева); 4 0 (справа); .4 – предельная точка области определения.
1.2.Функция общего вида (ни четная, ни нечетная). Непериодическая.
1.3.Точки пересечения графика с координатными осями (характерные точки графика, их может не быть).
|
|
|
(x 1)3 |
|
x 1. Точка графика (1; 0) . |
|
|
|
|||||
1.3.1. Корни (нули) функции: |
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.3.2. Ордината точки пересечения с осью ординат: x 0 |
|
f (0) |
(0 1)3 |
|
1 |
. |
|||||||
0 4 |
4 |
||||||||||||
Точка графика 0; 1 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.4. Интервалы знакопостоянства функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1.5. Пределы на концах области определения (смотрим на знак функции). |
|
|
|
||||||||||
1.5.1. lim |
(x 1)3 |
lim |
(x 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
x 4 |
x |
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечание. Горизонтальных асимптот график не имеет.
|
|
(x 1)3 |
|
(x 1)3 |
||
1.5.2. lim |
|
|
, |
lim |
|
. |
|
|
|
||||
x 4 0 |
|
x 4 |
x 4 0 |
x 4 |
||
Замечание. |
x 4 – вертикальная асимптота. |
|||||
1.6. Асимптоты.
1.6.1.Горизонтальных нет.
1.6.2.Вертикальная асимптота x 4 .
1.6.3.Наклонные асимптоты ( y kx b ).
k lim |
f (x) |
lim |
(x 1)3 |
lim |
x3 |
. |
|
|
|
||||
x |
x |
x x(x 4) |
x x2 |
|
||
Наклонных асимптот нет.
1.7 Эскиз (соединяем самым простым способом полученные элементы графика):
y
0 |
x |
4 |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
4 |
|
Предполагается локальный минимум левее 4
Этап 2. Монотонность и экстремумы. 2.1. Критические точки.
2.2.1. Точки стационарности.
|
|
(x 1) |
3 |
|
|
3(x 1) |
2 |
(x 4) |
(x 1) |
3 |
|
(x 1) |
2 |
(2x |
13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
x 4 |
|
|
|
(x 4) |
2 |
|
|
(x 4) |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Получаем две стационарных точки: x1 1 и x2 |
13/ 2 6,5. В соответствующих |
||||||||||||||||
точках графика касательная параллельна оси абсцисс.
2.2.2.Критических точек, в которых производной нет или она бесконечная в данном примере нет.
2.2.3.Критические значения функции (значения в критических точках):
|
|
|
( 7,5)3 |
|
f (x ) f (1) 0 |
, |
f (x ) f ( 6,5) |
|
168,75 . |
|
||||
1 |
|
2 |
2,5 |
|
|
|
|
||
Критические точки графика (1; 0) и ( 6,5;168,75) , довольно высоко находится вторая точка, будут проблемы с графиком.
2.3. Интервалы монотонности функции (они же интервалы знакопостоянства производной функции).
f (x) |
|
|
|
f (x) |
6,5 |
4 |
1 |
Min
( ; 6,5) – функция убывает.
( 6,5; 4) ( 4, ) – функция возрастает.
2.4. Экстремумы.
Точка локального минимума x2 13/ 2 6,5, минимальное значение равно 168,75 .
Этап 3. Выпуклость и точки перегиба.
3.1. Точки, подозрительные на перегиб.
|
|
|
(x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
(2x |
13) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) |
(x 4) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(2(x 1)(2x 13) (x 1)2 2)(x 4)2 (x 1)2 (2x 13)2(x 4) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 4)4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x 1)(x 4)((2x 13 x 1)(x 4) (x 1)(2x 13)) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 4)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x 1)(3x2 |
24x 48 2x2 11x 13) |
|
2(x 1)(x2 13x 61) |
0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x |
|
4)3 |
|
(x 4)3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Получаем одну точку: |
x1 1 (у квадратного трехчлена отрицательный дискриминант). |
|||||||||||||||
f (x) |
4 |
1 |
– функция выпукла вниз.
– функция выпукла вверх.
3.3. Точка перегиба функции x1 1, точка перегиба графика – (1; 0) .
Этап 4. Построение графика. |
|
|
|
4.1. Дополнительные точки (при необходимости). |
|
|
|
4.2. График. |
|
|
|
|
800 |
|
|
|
600 |
|
|
|
400 |
|
|
|
200 |
|
|
20 |
10 |
10 |
20 |
|
200 |
|
|
|
400 |
|
|