Математика 2 семестр / Математика 2 семестр / Определенный интеграл

1. Измельчение промежутка.

Понятие определенного интеграла включает в себя предельный переход, основан-

ный на процедуре измельчения промежутка. Разобьем промежуток [a, b] на n частей точками a x0 x1 x2 xn 1 xn b. Обозначим разбиение {xi }, n –

здесь сказано, на сколько частей разбивается промежуток, и какими точками. Пустьi xi xi 1 0 – длина промежутка [ xi 1, xi ], 1 i n. Положительное число

max i называется рангом разбиения ({xi }, n) . Нетрудно видеть, что число ча-

i

стей, на которые разбивается промежуток [a, b], зависит от ранга разбиения, а именно,

чем меньше ранг разбиения, тем больше число n. И если 0 , то n . Последо-

вательность разбиений, для которых ранг 0 , назовем измельчением промежутка.

При измельчении каждый промежуток [xi 1, xi ] стягивается в точку.

Вопросы.

1.Разобьем промежуток [0;10] на 10 равных частей. Найдите 1) x6 ; 2) 4 ; 3) ранг этого разбиения .

2.Промежуток [a, b] разбит на n равных частей. Найдите 1) xi ; 2) i ; 3) ранг этого

разбиения .

3. Промежуток [0;10] разбит на 1000 частей. Может ли при этом ранг разбиения быть равным 9,999 ?

4. Промежуток [0;10] разбит на n частей. Ранг разбиения равен 0,12 . Найдите наименьшее значение n.

5. Приведите пример разбиений, для которых n , а не стремится к нулю.

2. Суммы Дарбу (определение).

Пусть функция f ( x) определена на промежутке [a, b] и ограничена на этом

промежутке: m f ( x) M . Возьмем какое-либо разбиение ({xi }, n) этого проме-

которые называются нижней и верхней суммами Дарбу для разбиения ({xi }, n) . Оче-

видно, что

m(b a) S( ) ({xi }, n) S( ) ({xi }, n) M(b a) .

Геометрический смысл нижней и верхней сумм Дарбу для неотрицательной функции можно увидеть на следующих рисунках.

S( ) ({xi }, 5) f ( x0 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x2 ) 3 f ( x3 ) 4 f ( x4 ) 5 S( ) ({xi }, 5) f ( x1 ) 1 f ( x2 ) 2 f ( x3 ) 3 f ( x4 ) 4 f ( x5 ) 5

Нижняя сумма Дарбу равна площади вписанного многоугольника, верхняя сумма Дарбу

– площади описанного многоугольника.

Рассмотрим всевозможные разбиения отрезка на n частей. Множество всех верх-

них сумм ограничено снизу числом m(b a), а множество всех нижних сумм ограни-

чено сверху числом M (b a). Поэтому существуют числа

зависящие только от n (и не зависящие от выбора точек разбиений). Назовем их, соот-

ветственно, верхней и нижней интегральной суммой Дарбу.

Вопросы.

1. Промежуток [0;10] разбит на 10 равных частей. Функция f ( x) x . Найдите ниж-

нюю сумму Дарбу.

2. Промежуток [0;10] разбит на 10 равных частей. Функция f ( x) x . Найдите верх-

нюю сумму Дарбу.

3. Промежуток [a; b] разбит на n равных частей. Функция f ( x) x . Найдите раз-

ность между верхней и нижней суммами Дарбу.

4.Может ли нижняя сумма Дарбу равняться верхней?

5.Промежуток [a; b] разбивается на n частей. Найдите нижнюю интегральную сумму

Дарбу S* (n) для постоянной функции f ( x) c .

6. Промежуток [a; b] разбивается на n частей. Найдите верхнюю интегральную сумму

Дарбу S* (n) для постоянной функции f ( x) c .

7. Функция Дирихле D( x) 1, если x – рациональное число, и D( x) 0, если x –

иррациональное число. Промежуток [a; b] разбивается на n частей. Найдите нижнюю интегральную сумму Дарбу S* (n) для функции Дирихле.

8. Функция Дирихле D( x) 1, если x – рациональное число, и D( x) 0, если x –

иррациональное число. Промежуток [a; b] разбивается на n частей. Найдите верхнюю интегральную сумму Дарбу S* (n) для функции Дирихле.

3. Свойства интегральных сумм Дарбу.

Интегральные суммы Дарбу обладают важным свойством.

Предложение 1. При увеличении n последовательность нижних интегральных сумм не убывает, а последовательность верхних интегральных сумм не возрастает.

Доказательство (не обязательное!). Посмотрим, что происходит с суммой Дарбу,

если к имеющемуся разбиению ({xi }, n) на n частей добавить еще одну точку. Новая точка разобьет один из промежутков на две части, и мы получим некоторое разбиение

({xk }, n 1) из n 1 промежутка. Изменения в сумме коснутся только одного проме-

жутка, поэтому достаточно проверить переход от n 1 к n 2. Рассмотрим верхнюю сумму. По определению, S( ) ({a, b},1) M(b a) , где M sup f ( x). Добавляя

Следовательно, при добавлении точки верхняя сумма не увеличивается. В результате заключаем, что для любого разбиения ({xi }, n) на n частей существует такое разбие-

ние ({xi }, n 1) на n 1 часть, что S( ) ({xi }, n) S( ) ({xi}, n 1) (нужное разбиение появляется после добавления к исходному одной точки).

Осталось проверить, что неравенство сохраняется для интегральных сумм, кото-

рые являются точными нижними гранями множеств верхних сумм. Предположим про-

тивное, а именно, что S* (n) S*(n 1) . Тогда найдется разбиение на n частей, у ко-

торого верхняя сумма меньше верхней суммы любого разбиения на n 1 часть (верхняя интегральная сумма является точной нижней границей множества верхних сумм). А мы только что показали, что всегда есть разбиение на n 1 часть, для которого выполняет-

ся противоположное неравенство. Следовательно, S* (n) S*(n 1) . Неравенство

S* (n) S*(n 1) для нижних сумм доказывается аналогично.

Вопросы.

1. Промежуток [0;10] разбивается на 5 и на 10 равных частей. Функция f ( x) x .

Найдите разность нижних сумм Дарбу S( ) ({xi }, 10) S( ) ({xi }, 5).

Пусть функция f интегрируема на промежутке [a, b] . Возьмем какое-нибудь

разбиение ({xi }, n) этого промежутка и какие-нибудь точки i [xi 1, xi ], 1 i n.

Вычислим произведения f ( i ) i и составим сумму

n

In I ({xi },{ i }, n) f ( i ) i .

i 1

Она называется интегральной суммой Римана для функции f на промежутке [a, b] .

По построению интегральная сумма Римана зависит от выбора разбиения и точек i .

Очевидно, что mi f ( i ) Mi , и, следовательно, для любого разбиения ({xi }, n) ин-

тегральная сумма Римана заключена между нижней и верхней суммой Дарбу:

S( ) ({xi }, n) In S( ) ({xi }, n) .

Несложный анализ показывает, что аналогичное неравенство справедливо и для инте-

гральных сумм Дарбу:

S* (n) In S* (n) .

Действительно, если бы для некоторого n выполнялось неравенство S* (n) In , то нашлось бы разбиение, для которого S( ) ({xi }, n) In . Из теоремы о сжатой пере-

менной следует, что для интегрируемой функции существует конечный предел инте-

гральной суммы Римана при произвольном измельчении промежутка и произ-

вольном выборе точек i [ xi 1, xi ], и этот предел равен определенному интегралу:

Подчеркнем, что для интегрируемой функции существует конечный предел интеграль-

ной суммы Римана, и он не зависит от выбора разбиений и точек i .

Примечания. Традиционно под определенным интегралом от функции f по про-

межутку называется предел интегральной суммы Римана, при условии, что он

конечен, не зависит от разбиений и выбора точек i . Функции, для которых интеграл существует, называются интегрируемыми по Риману, а сам интеграл интегралом Ри-

мана. Интеграл Римана и интеграл, рассмотренный в этом разделе – один и тот же объ-

ект. Существуют и другие конструкции определенных интегралов, приводящие к инте-

гралу Лебега, интегралу Стилтьеса и другим.

В приближенных методах вычисления (это специальный раздел математики) в ка-

честве значения определенного интеграла принимают значение интегральной суммы для достаточно мелкого разбиения промежутка.

Геометрический смысл определенного интеграла для неотрицательной функции –

ab f ( x)dx равен площади криволинейной трапеции (см. рисунок).

y

y f (x)

Замечание. Говоря о площади (длине, объеме), предполагают интуитивное знание этого понятия. Более точный ответ на вопрос, что такое площадь криволинейной трапеции,

практически повторяет определение интеграла. Исходным понятием считается площадь прямоугольника. Тогда нижняя и верхняя суммы Дарбу действительно равны площадям

(составленных из прямоугольников) вписанного и описанного многоугольников. Ниж-

ней и верхней интегральным суммам Дарбу отвечают понятия нижней и верхней пло-

щади фигуры. И если после перехода к пределу значения нижней и верхней площадей совпадут, то говорят, что фигура имеет площадь, равную этому пределу. А если преде-

лы оказываются разными, то такая фигура не имеет площади.

Вопросы.

1. Пусть f ( x) c – постоянная функция. Докажите, используя определение, что

ab c dx c(b a).

При измельчении каждый промежуток [xi 1, xi ] стягивается в точку, а по непрерывно-

сти разность f ( xi ) f ( xi ) 0 . В итоге получаем, что верхний и нижний интегралы от непрерывной функции равны.

Пример ограниченной неинтегрируемой по Риману функции (не обязательный).

Рассмотрим на промежутке [0, 1] функцию Дирихле D( x) которая определяется ра-

венствами: D( x) 1, если число x рациональное, и D( x) 0, если число x ирра-

циональное. На любом промежутке [xi 1, xi ] есть и рациональные, и иррациональные точки, поэтому mi 0, а Mi 1 для всех i . Для любого разбиения нижняя сумма

верхний интегралы от функции Дирихле на промежутке [0, 1] существуют, нижний ин-

теграл равен 0 , а верхний равен 1. Функция Дирихле неинтегрируема по Риману.

Замечание. Определенный интеграл не изменится, если изменить значения инте-

грируемой функции в точке, и, как следствие, в конечном (и даже в счетном) числе то-

чек. Пусть функция f изменена в точке c [a, b]. Условие интегрируемости позволя-

ет использовать интегральную сумму Римана. Так как точки i мы можем выбирать со-

вершенно произвольно, то будем всегда брать i c для того промежутка, в котором оказывается точка. Соответствующее слагаемое будет иметь вид f (c) i , а так как при измельчении i 0, то и f (c) i 0, и совершенно не важно, чему было равно зна-

чение функции в точке c .

16.2. Свойства определенного интеграла.

Из линейных свойств суммы и предела немедленно следуют линейные свойства определенного интеграла.