Математика 2 семестр / Математика 2 семестр / Предел числовых последовательностей

– ее последовательности.

Если из последовательности удалить любое конечное число членов, то остав-

шиеся члены образуют подпоследовательность этой последовательности. Если из последовательности удалить первые i членов, то возникает подпоследовательность вида {ai k } {ai 1, ai 2 ,..., ai k ...}, которую называют остатком последовательности.

Так как отбрасывание конечного числа членов последовательности никак не влияет на ее сходимость, то можно заключить, что поведение последовательности и пове-

дение ее остатков совпадают. В частности, следующая последовательность

1; 2; 3; 4; 5; 0,1; 0,01; 0,001;...;10 k 5 ;... сходится и ее предел равен нулю.

В общем случае, подпоследовательность может возникать при удалении бес-

конечного множества членов исходной последовательности (важно, чтобы остава-

лось бесконечное множество ее членов). Связь между поведением последовательно-

сти и ее подпоследовательностей устанавливается следующим утверждением.

22

любой номер, для которого будет выполняться неравенство kM (ε) K (ε) . Действи-

тельно, член подпоследовательности с номером m является членом последователь-

Упражнение. Докажите, что никакая периодическая непостоянная последова-

тельность не имеет предела. В частности, нет предела у последовательности

{1, 1,1,..., ( 1)k 1,...}.

1.9. Два свойства пределов сходящихся числовых последовательностей.

Поведение числовой последовательности полностью определяется поведением

ее остатков. Поэтому нет необходимости требовать, что бы некоторые условия, от которых зависит поведение последовательности, выполнялись для всех ее членов,

начиная с первого. Достаточно, чтобы эти условия выполнялись для всех членов,

начиная с некоторого номера.

Предложение 8 (о предельном переходе в неравенствах). Пусть числовые последо-

вательности {ak } и {bk } сходятся и пусть, начиная с некоторого номера, выполняет-

23

Простой пример показывает, что при переходе к пределам строгое неравен-

Предложение 9 (о сжатой переменной). Пусть {ak },{bk } и {ck }– три числовых по-

следовательности и пусть, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

ak bk ck . Предположим, что (крайние) последовательности {ak } и {ck } сходятся к одному пределу. Тогда (сжатая ими) последовательность {bk } сходится к тому же самому пределу.

Доказательство. Пусть lim ak limck A. Для достаточно больших номеров

(при k K (ε) ) все члены крайних последовательностей находятся в произвольной

ε -окрестности точки A . Но тогда и все члены последовательности номерами попадают в ε -окрестность точки

1.10.Монотонные последовательности.

Сформулируем основной результат этого пункта.

Теорема 2 (теорема Вейерштрасса о монотонных ограниченных последовательно-

стях). Числовая последовательность, которая не убывает и ограничена сверху или не возрастает и ограничена снизу, сходится.

мое вычисление предела приводит к неопределенности [1 ]. Можно показать, что она не убывает и ограничена сверху. Согласно теореме Вейерштрасса о последова-

тельностях, данная последовательность сходится. Предел этой последовательности

ональное (представляется непериодической десятичной дробью), трансцендентное

(не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами) и прибли-

женно e 2,7182818284590452353 2,72 .

24

А теперь подробнее. Множество X называется ограниченным сверху,

если существует такое число M , что для всех x X выполняется неравенство x M . Число M называют верхней гранью (или верхней границей) множества.

Понятно, что если M – верхняя грань множества, то любое M1 M также будет его верхней гранью. Аналогично определяется ограниченное снизу множество и его нижние грани: m : x X m x . Множество ( ; 0) ограничено сверху (мож-

но взять M 2, можно и M 0 ), множество ограничено снизу (можно взять ( 15; 10) ( 6; 2] ограничено и снизу ( m 15), и сверху

Формальное определение ограниченного множества использует только одну букву. Множество X называется ограниченным , если существует такое число

M 0 , что для всех x X выполняется неравенство | x | M . Неравенство с моду-

лем равносильно двойному неравенству M x M . Понятно, что ограниченное множество ограничено и сверху ( M – его верхняя грань), и снизу ( M – его ниж-

няя грань). Нетрудно понять, что множество, ограниченное и снизу, и сверху, будет ограниченным множеством, но предъявление единого числа M 0 может вызвать некоторые проблемы.

Упражнение. Найдите какое-нибудь число M 0 для множества [ 11; 2].

Заметим, что множество верхних граней ограничено снизу, например, любым элементом из множества. А множество нижних граней ограничено сверху.

Пусть множество ограничено сверху. Множество его верхних граней ограни-

чено снизу. Поэтому можно предположить существование наименьшей верхней грани множества, которая называется точной верхней гранью множества или су-

премумом множества. Супремум множества X обозначается sup X . Супремум множества – это такая верхняя грань, которую нельзя уменьшить. Любое число,

меньшее супремума, не является верхней гранью. Формально, супремумом ограни-

ченного сверху множества X называется такое число sup X , что для всех x X

25

выполняется неравенство x sup X , и для любого 0 найдется элемент x* такой,

что x* sup X (см. рисунок).

sup X x* sup X

Аналогично для ограниченного снизу множества вводится понятие точной нижней грани или инфимума inf X . Нетрудно видеть, что для интервалов на число-

вой оси точными верхней и нижней гранями являются концы интервала, например sup(0;1] 1, inf(0;1] 0 . Из примера видно, что точные грани могут принадлежать

множеству, и могут ему не принадлежать. Множество действительных чисел обла-

дает важным свойством, а именно, у любого ограниченного сверху (снизу) множе-

ства существует точная верхняя (нижняя) грань.

Вопрос. Может ли ограниченное сверху множество иметь две различные точ-

ные грани?

Упражнение. Подумайте, существует ли самое маленькое положительное ир-

рациональное число? Пусть J – множество иррациональных чисел,

I {x J : 0 x 1} – множество иррациональных чисел, лежащих в интервале от

0 до 1. Множество I ограничено в J , так как очевидно, что 2 x 2 для всех x I . Есть ли у множества I супремум и инфимум в множестве иррациональных

чисел?

Теперь несложно доказать теорему 2. Пусть последовательность {ak } не убы-

вает и ограничена сверху. Ограниченность сверху последовательности означает ограниченность сверху множества ее значений. Тогда существует sup{ak }. Осталось

как последовательность не убывает, то для всех k k* выполняется неравенство

26

ak sup{ak } . Так как sup{ak } – верхняя грань, то вообще для всех номеров, и в частности, для всех k k* выполняется неравенство ak sup{ak }, и тем более, не-

равенство ak sup{ak } . В результате приходим к выводу, что для всех k k*

выполняется неравенство | ak sup{ak }| . Чтобы закончить доказательство пре-

дела, остается положить K k* .

Упражнение. Случай невозрастающей ограниченной снизу последовательности раз-

берите самостоятельно.

ограничена сверху, можно использовать формулу, известную как бином Ньютона:

квадрат и куб суммы.

Применяя аккуратно бином к общему члену последовательности, получим

27

удобно записать его именно в таком виде. Далее сокращаем каждое слагаемое,

начиная со второго на множитель k :

Заметим, что число скобок в числителях равно показателю степени у буквы k в

знаменателе. Поэтому

Разделив каждую скобку на k , получаем следующее выражение:

Докажем ограниченность последовательности. Все круглые скобки меньше едини-

цы. Заменив круглые скобки на единицу, получим неравенство:

28

1

Добавляя в правую часть следующие за 2k 1 степени двойки, мы усиливаем нера-

венство

Для доказательства того, что рассматриваемая последовательность возрастает, за-

Небольшой анализ приводит к выводу, что в последнем выражении каждое слагае-

мое больше соответствующего слагаемого в выражении для ak . Кроме того, число слагаемых увеличилось на единицу. Следовательно, ak 1

29

Следующий пример показывает, как можно доказать, что факториал растет

быстрее любой степени. Рассмотрим последовательность bk xk , считая x 1. Так k !

как lim xk , и lim k! , то при вычислении предела отношения возникает

следовательность {bk } становится убывающей. Сосчитаем отношение

довательно, последовательность {bk } становится убывающей. Ограниченность сни-

зу очевидна, так как bk 0. Согласно теореме Вейерштрасса существует конечный

Заметим, что {bk 1} есть подпоследовательность последовательности {bk }, поэтому