Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Предел числовых последовательностей

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2016

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Легендарный пример показывает, каким может быть результат изучения математики (и не только математики) по шаблонам и на примерах. Слева приве-

ден обучающий пример, а справа – "решение" задачи:

Об р а з е ц

	lim	1

		x 8
	x 8	x 8

1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1.1. Последовательности

О т в е т

lim	1	5

	x 5
x 5	x 5

Математический анализ изучает свойства функций. Последовательности яв-

ляются, в некотором смысле, наиболее простыми функциями. Поэтому математиче-

ский анализ начинается с изучения свойств последовательностей.

Определение. Последовательностью называется функция, определенная на множе-

стве натуральных чисел.

Пусть N множество натуральных чисел, Y множество, в котором лежат значения последовательности, и f : N Y последовательность. Значение после-

довательности в точке k N называется членом последовательности с номером k и обозначается fk (вместо традиционного функционального обозначения f (k) ).

Если значения последовательности являются числами, то последовательность назы-

вается числовой. Значения последовательности могут быть векторами, матрицами,

функциями и так далее, соответственно последовательность называется векторной,

матричной, функциональной и так далее.

Последовательность обычно обозначается перечислением ее членов: f1, f2 ,..., fk ,... ,

или, в краткой форме, выражением { fk }. Член последовательности с номером k

обычно называют общим членом последовательности.

Числовые последовательности можно складывать и умножать на числа по следующим правилам:

{ak } {bk } {ak bk },

λ{ak } {λak }.

Упражнение.* Доказать, что множество числовых последовательностей с этими операциями образует бесконечномерное линейное векторное пространство.

Числовые последовательности можно перемножать и делить по правилам:

{ak }{bk } {ak bk },

{ak }	ak	,
{bk }	bk

деление возможно, если bk 0 ни при каком k N .

График числовой последовательности {ak } состоит из точек плоскости с координатами (k, ak ) , где k 1, 2,3,.... Точки графика числовой последовательно-

сти образуют последовательность точек плоскости (1, a1 ),(2, a2 ),...,(k, ak ),....

Пример. График первых 5 членов последовательности a	4k k 2 .
k

Вопрос: как Вам кажется, является ли график последовательности графиком непре-

рывной функции? Правильный ответ –да – будет понятен только после знакомства с понятием непрерывной функции.

1.2. Примеры последовательностей

Последовательность задана, если имеется возможность вычислить любой ее член.

Существует два основных способа задания последовательностей. Говорят, что по-

следовательность задана явно, если ее общий член ak задан формулой, зависящей от

k , например, a	k	1		. Говорят, что последовательность задана рекуррентно

k	k(k	1)

(или рекурсивно) , если ak			выражается через некоторое количество предыдущих
членов, например, ak		ak	1 ak 2 . В случае рекуррентного задания какое-то количе-

ство первых членов должно быть задано отдельно. Рассмотрим несколько примеров явного задания.

1. Постоянная последовательность: ak c .

c,c,...,c,... .

2. Нулевая последовательность: ak 0 .

0,0,0,...,0,... .

3. Натуральная последовательность: ak k .

1, 2,3,..., k,... .

4. Последовательность квадратов:		a			k 2 .
		k
	1, 4,9,16,..., k 2 ,... .
5. Гармоническая последовательность: gk								1			.
5. Гармоническая последовательность: gk											.
								k
		1,	1	,	1	,...,	1		,... .
		1,		,		,...,			,... .
		2			3		k
6. Знакочередующаяся последовательность:							x			(		1)k	1 .
								k
1,	1, 1,				1,...,(					1)k 1,...
7. Арифметическая прогрессия:	ak		a			d (k				1) .
a, a d, a	2d, a					3d,..., a						d (k	1),... .

8. Геометрическая прогрессия: bk bqk 1 .

b,bq,bq2 ,bq3 ,...,bqk 1,... .

Упражнение. Угадать шестой член и формулу общего члена последовательности

	0,	1	,	1	,		3	,	2		,?,...a	?,...
	0,		,		,			,			,?,...a	?,...
	6			6		20 15					k
	6			6		20 15
Замечание. От умения замечать закономерности зависит величина IQ .
Примеры рекуррентного задания последовательностей.
1.	Арифметическая прогрессия: a1						a, ak				ak 1	d, k	2.
2.	Геометрическая прогрессия: b1					b, bk					bk 1q, k	2 .
3.	Последовательность без названия: a									a 0, a		b	0, a	ak	1	, k 3.
3.	Последовательность без названия: a									a 0, a		b	0, a			, k 3.
						1					2		k	ak
														ak	2

В частности, при a 1, b 2 получаем периодическую последовательность

1, 2, 2,1,	1	,	1	,1, 2, 2,1,		1	,	1	,... .
1, 2, 2,1,	2	,	2	,1, 2, 2,1,		2	,	2	,... .
	2		2			2		2
4. Логистическая последовательность:				x	a, x			λx		μx2	1	, λ,μ 0.
				1		k			k 1	k	1

Упражнение. Найдите первые 15 членов логистической последовательности при

a 32 , λ 4 и μ 1. На картинке пример хаотического поведения первых 100

членов этой последовательности.

100

{ak },

5. Последовательность Фибоначчи: a1 a, a2 b, ak ak 1 ak 2 , k 3. В частно-

сти, при a b 1 получается последовательность чисел Фибоначчи

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... .

Одна и та же последовательность может иметь и явное, и рекуррентное зада-

ние. Существуют и другие способы задания последовательностей, например, после-

довательность цифр в десятичной записи числа 2 . Эта последовательность опре-

делена корректно (любой член можно вычислить), но ни явно, ни рекуррентно она не задается.

Упражнение.* Докажите, что последовательности Фибоначчи образуют двумерное подпространство пространства последовательностей. Найдите базис этого подпро-

странства из геометрических прогрессий. Найдите координаты последовательности чисел Фибоначчи в этом базисе и явную формулу для ее общего члена. Ответ такой:

		k			k
1	5	k	1	5	k
ak						. Несмотря на иррациональности все значения – целые

		5 2k
		5 2k

числа.

1.3. Пределы числовых последовательностей.

Предел числовой последовательности характеризует поведение ее членов при неограниченном увеличении номера. Последовательность может иметь конечный предел (число), бесконечный предел (их три типа) и не иметь никакого предела во-

обще. Последовательность, у которой есть конечный предел, называется сходящей-

ся, в остальных двух случаях говорят, что последовательность расходится.

Определение. Число A называется пределом числовой последовательности

если для любого положительного числа ε (греческая буква эпсилон) можно найти такой номер K K (ε) , что для всех последующих номеров будет выполняться не-

равенство ak A ε .

lim ak

Предел последовательности обозначают выражением lim ak	или lim ak (если
	k

нужно явно указать букву, которой занумерованы члены последовательности). Сим-

волическое определение предела числовой последовательности имеет вид

lim ak A

ε 0 K(ε) : k K(ε)

ak A

ε .

Значок читается как "любой, всякий, каждый", перед ним подразумевается пред-

лог "для", значок означает "существует, есть, найдется", а двоеточие читается как

"такой, что". Двойная стрелка здесь означает "выполняется" или "следует".

Упражнение. Сформулируйте утверждение A. Для этого в символической

записи определения предела нужно поменять местами значки и , изменить знак последнего неравенства и прочитать, что получилось.

На неформальном языке lim ak	A означает, что члены последовательности
неограниченно (или сколь угодно близко) приближаются к числу A . Границами
здесь служат концы интервала ( A ε, A	ε) . И каковы бы ни были эти границы,

при достаточно больших номерах все члены последовательности преодолевают их и попадают вовнутрь этого интервала. В определении предела как раз и раскрывается точный смысл фразы "приближаться неограниченно или сколь угодно близко".

На графике все точки последовательности при k K (ε) лежат в полосе, огра-

K ( )

ниченно прямыми x K (ε) и y A ε .

Замечание. Если lim ak A, то говорят, что последовательность {ak } схо-

дится к A . При достаточно больших k можно говорить о приближенном равенстве ak A. Модуль разности δk ak A является (абсолютной) ошибкой этого при-

ближенного равенства. В приближенных вычислениях необходимо знать величину

ошибки. При k

K (ε) ошибка δk

будет меньше наперед заданного числа ε .

Рассмотрим примеры доказательства некоторых пределов.

Предложение 1. Предел постоянной последовательности равен ее значению.

Доказательство. Пусть ak c постоянная последовательность. Покажем, что

limc

c . Для этого необходимо найти такой номер K (ε) , что для всех последую-

ε для любого ε 0 . Но

щих номеров должно выполняться неравенство

c c

0, и нужное неравенство 0

ε выполняется вообще для всех номеров,

начиная с первого. Поэтому можно взять K (ε)

1. Предложение доказано.

Предложение 2. Предел гармонической последовательности равен нулю.

Доказательство. Надо доказать, что lim

0 . Для этого необходимо найти такой

номер K (ε) , что для всех последующих номеров должно выполняться неравенство

для любого ε 0 . Решим неравенство

ε , считая k положитель-

ным действительным числом. Его решением будут все числа, удовлетворяющие

условию k

. Так как ε произвольное положительное число, то

может не

оказаться целым числом, и мы не можем взять

в качестве номера K( ) (номера

не бывают дробными). В качестве номера K( ) можно взять ближайшее к 1ε целое число. А так как нужное неравенство должно выполняться при k строго больше

K (ε) , то нас вполне устроит ближайшее к 1 целое число с недостатком. Целое чис-

ло, ближайшее слева к действительному числу x , называется целой частью числа x

и обозначается [x] или Ε(x). Поэтому в качестве номера можно взять целое число

K (ε)	1	. Например, если ε 0,11, то K (0,11)	1	9, 09... 9 . Предложе-
	ε		0,11

ние доказано. Заметьте, что ни один из членов гармонической прогрессии не равен

ее пределу. Найденный номер K (ε)	1	является первым из номеров, после кото-
	ε

рого выполняется нужное неравенство. Понятно, что для доказательства предела можно предъявить любой номер, следующий за первым.

Определение. Предел числовой последовательности {ak } равен (плюс беско-

нечности), если для любого положительного числа ε можно указать такой номер

K (ε) , что для всех последующих номеров будет выполняться неравенство ak ε .

Символическая запись этого предела имеет вид

lim ak	ε	0 K(ε) : k K(ε)	ak	ε .
Предложение 3. Предел натуральной последовательности равен				.
Доказательство. Пусть ak	k . Возьмем произвольное число ε			0 . Рассмот-
рим номер K (ε) [ε]. Если k	K(ε)	[ε] , то тем более ak k	[ε]	1 ε (здесь

существенно, что k N ). Предложение доказано.

Определение. Предел числовой последовательности {ak } равен (минус беско-

нечности), если для любого положительного числа ε можно указать такой номер

K (ε) , что для всех последующих номеров будет выполняться неравенство ak						ε .
Символическая запись этого предела имеет вид
	lim ak	ε	0	K(ε) : k K(ε) ak	ε .
Замечание. Можно определить lim ak				условием, что lim( ak )	. Дей-
ствительно, неравенства ak		ε и	ak	ε равносильны. В частности, отсюда сле-
дует, что lim( k)	.

Определение. Предел числовой последовательности {ak } равен бесконечности, если для любого положительного числа ε можно указать такой номер K (ε) , что для всех

последующих номеров будет выполняться неравенство

ε .

Символическая запись этого предела имеет вид

lim ak

ε 0 K(ε) : k

K(ε)

ε .

Замечание. Эквивалентно можно определить lim ak

условием, что

. В частности, lim( 1)k 1k , так как

(

1)k

1 k

k .

lim

Предостережение. В отличие от чисел, для которых 5

5, символы

не равнозначны. В тех случаях, когда lim ak

или lim ak

, верно, что

lim ak

. Если lim ak

, то предел может при этом равняться

или

и может не равняться ни одному их этих символов. Рассмотрим последовательность

{( 1)k 1 k}	{1, 2, 3, 4,..., 1000, 1001,...}. Ее предел равен		и не равен ни
, ни	.
На неформальном языке lim ak		означает, что модуль членов последова-
тельности неограниченно увеличивается.

Приведенные определения пределов числовой последовательности использу-

ют неравенства, причем в каждом типе предела эти неравенств разные. Все четыре определения можно заменить одним, если использовать (геометрическое) понятие

ε -окрестности. Если A – число, то ε -окрестностью точки A называется открытый

интервал Wε (A)	(A ε; A ε)	{x	: A	ε	x	A ε	\| x	A \|	ε}. Далее,
ε -окрестностью	называется интервал Wε (				)	(ε;	) , ε -окрестностью
называется интервал Wε (		) (	;	ε), а ε -окрестностью					называется
объединение этих двух интервалов Wε (			)	(	; ε)	(ε;	)	{x	:\| x \| ε}.

Заметим, что если последовательность имеет предел (конечный или бесконеч-

ный), то вне любой ε -окрестности предела находится только конечное число членов последовательности, а внутри любой ε -окрестности предела находится бесконечно

много членов последовательности. В случае конечного предела значения последова-

тельности "сгущаются" вблизи предела (какую бы малую ε -окрестность не взять,

внутри находится бесконечно много членов последовательности).

Пусть обозначает любой из четырех пределов (число, плюс бесконечность,

минус бесконечность или бесконечность без знака). Используя окрестности, можно написать "единое" определение предела числовой последовательности:

lim ak

ε 0 K(ε) : k K(ε) ak Wε ( ) .

Сформулировав определения пределов числовых последовательностей, есте-

ственно ответить на вопрос, сколько пределов может иметь числовая последова-

тельность.

Теорема 1 (о единственности предела). Предел числовой последовательности един-

ственный.
	Доказательство. Пусть lim ak		A. Предположим, что одновременно
lim a	B , и что A B . Возьмем	ε		B A	. Тогда ε -окрестности W ( A) и W (B)
lim a	B , и что A B . Возьмем	ε			. Тогда ε -окрестности W ( A) и W (B)
k			3		ε	ε
			3
не пересекаются. Но при достаточно больших номерах ak Wε ( A) и ak						Wε (B) ,
что невозможно.

Аналогичное рассуждение показывает, что если lim ak A, то последова-

тельность не может одновременно иметь бесконечных пределов.

С бесконечными пределами ситуация несколько сложнее. Если последова-

тельность имеет бесконечный предел с каким-то знаком, то она не может одновре-

менно иметь бесконечный предел с противоположным знаком. Бесконечный предел без знака можно считать единственным, так как он "содержит в себе" бесконечные пределы со знаком (посмотрите предостережение выше).

Может показаться странным предположение, что предел может быть не един-

ственным. На самом деле в некоторых пространствах с более сложной структурой,

чем у множества действительных чисел, существуют последовательности, имеющие несколько пределов. Единственность предела числовой последовательности обу-

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика 2 семестр

#
15.02.2016504.79 Кб56Определенный интеграл.pdf
#
15.02.2016500.89 Кб48Оптимизация функции.pdf
#
15.02.2016396.23 Кб47Предел последовательности (задача 1).pdf
#
15.02.2016127.23 Кб48Предел функции (варианты для тренировки).pdf
#
15.02.2016466.42 Кб59Предел функции (подготовка к контрольной работе).pdf
#
15.02.20161.04 Mб57Предел числовых последовательностей.pdf
#
15.02.2016198.67 Кб49Ряд Тейлора.pdf
#
15.02.2016619.39 Кб69Теоремы Вейерштрасса и Больцано Коши.pdf
#
15.02.2016280.73 Кб45Частные производные.pdf