Математика 2 семестр / Математика 2 семестр / Теоремы Вейерштрасса и Больцано Коши

3

Замечание. В условиях теоремы Вейерштрасса функция оказывается ограниченной.

Упражнения. Приведите пример ограниченной функции с некомпактной областью определения. Нарисуйте какой-нибудь график разрывной (не непрерывной) ограниченной функции. Покажите, что ограниченная функция может не иметь ни наименьшего, ни наибольшего значений. Покажите, что ограниченная функция может иметь наименьшее и наибольшее значения и в случае некомпактной области определения, и в случае наличия разрывов.

x a

нию).

На языке последовательностей это означает. что для любой последовательности точек {xk }, сходящейся к точке a , последовательность значений

показывающее, что для непрерывной функции можно менять местами знак функции и знак предела.

Важным следствием этого соотношения является теорема о пределе

x

сти показательной функции.

Запишем определение непрерывности в точке на языке окрестностей :

4

и заметим, что при x a условие f (a) Wε ( f (a)) выполняется автоматиче-

o

ски. Поэтому в определении непрерывности проколотую окрестность W δ (a) точки a можно заменить на "полную" окрестность Wδ (a) .

По той же причине при определении непрерывности на языке последовательностей можно рассматривать любые последовательности точек, сходящиеся к точке a (в определении предела оговаривалось, что точки последовательности не должны совпадать с точкой a ). В частности, если точка a

– изолированная, то имеется единственная последовательность, сходящаяся к ней, а именно, постоянная последовательность a, a,..., a,.... Тогда последовательность значений f (a), f (a),..., f (a),...также оказывается постоянной и ее предел равен f (a) – значению функции в этой точке. Это обстоятельство

оправдывает договоренность считать функцию в изолированной точке непрерывной.

Важное замечание про окрестности.

В определении предела функции и в определении непрерывности на

читается следующим образом: для всех аргументов из (проколотой) δ - окрестности точки значение функции попадает в ε - окрестность . Термин "аргумент" можно заменить термином "точка" с оговоркой "допустимая" (то есть из области определения).

Правильнее было бы ввести понятие окрестности точки в множе-

Вопределении предела δ - окрестность точки a является окрестностью

вобласти определения функции, а ε - окрестность точки f (a) – окрестно-

стью в , то есть симметричным интервалом ( f (a) ε; f (a) ε) .

5

Открытые шары являются открытыми множествами в n . По этой причине δ - окрестность точки в n также является открытым множеством. Но δ - окрестность точки в множестве X n может не быть открытым

множеством в n . Точнее, если точка является внутренней точкой множества, то у нее существует δ - окрестность в множестве в виде открытого шара (вспомните определение внутренней точки множества). Для невнутренних точек таких окрестностей нет (если бы нашлась окрестность в виде открытого шара, то точка была бы внутренней).

n \ W является открытым множеством. Множество в n замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки (признак замкнутости).

Предельные точки множества.

Точка из n называется предельной точкой множества W , если в любом открытом шаре с центром в этой точке имеется точка множества, отличная от нее. Предельная точка множества может ему не принадлежать. Точка пространства является предельной точкой множества тогда и только тогда, когда существует последовательность точек множества, отличных от нее и сходящаяся ней (признак предельной точки).

Компактные множества.

Множество в n называется компактным, если оно одновременно

ограниченное и замкнутое. Множество в n компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек множества можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит множеству (признак компактности). Этот признак будет активно использоваться при доказательстве теоремы Вейерштрасса

Последовательности и подпоследовательности.

6

Доказательство теоремы Вейерштрасса.

Покажем, что в условиях теоремы множество Y f ( X ) значений

функции оказывается ограниченным. От противного. Допустим, что множество значений будет неограниченным сверху. Тогда найдется такая последо-

значением функции). Возникает последовательность точек {xk } из области определения функции. Так как область определения компактна, то существует сходящаяся подпоследовательность {xki } последовательности {xk }, и ее

но, в условиях теоремы множество значений функции оказывается ограниченным сверху. Точно так же доказывается, что оно ограничено снизу. Следовательно, множество значений ограничено.

Следующим шагом покажем, что в условиях теоремы множество

Y f ( X ) значений функции оказывается замкнутым. Пусть b – любая предельная точка множества Y . Тогда существует такая последовательность

последовательность точек {xk } из области определения, для которых

f (xk ) yk . Так как область определения компактна, то существует сходящаяся подпоследовательность {xki } последовательности {xk }, и ее предел

вается значением функции и, следовательно, b Y . Множество Y содержит в себе все предельные точки, следовательно, замкнутое.

7

Осталось чуть-чуть. Раз множество значений функции ограниченное, то у него имеется инфимум и супремум. Так множество значений функции замкнутое, то инфимум и супремум лежат в этом множестве, то есть являют-

ся значениями. Тогда существуют точки x и x , в которых функция при-

нимает эти значения и f (x ) inf Y fнаим. , f (x ) supY fнаиб. . Теорема доказана.

Замечание. Наибольшее и наименьшее значения функции называют оптимальными значениями функции. Задача поиска оптимальных значений функции в некотором множестве называется задачей оптимизации функции. Теорема Вейерштрасса утверждает, что в случае компактного множества и непрерывной функции задача оптимизации всегда имеет решение.

Вопрос. Может ли функция принимать наибольшее (наименьшее) значение в нескольких точках? Приведите примеры таких функций.

Формулировки теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях.

Краткая формулировка.

Пусть у непрерывной функции есть наименьшее и наибольшее значения. Если область определения является связным множеством, то функция принимает в нем все промежуточные значения.

Вариант. Термин "связный" заменить на "линейно связный".

Краткое доказательство.

Известно, что если функция непрерывная, а ее область определения связная (линейно связная), то множество значений такой функции является связным (линейно связным) множеством. Единственными связными (линейно связными) множествами на числовой прямой являются точки и интервалы. Если функция принимает какие-то два значения, то она принимает и все промежуточные между ними значения.

Упражнение. Приведите примеры (графики) функций, показывающие, что функция может не принимать некоторое промежуточное значение, если она не является непрерывной на связном множестве или если функция непрерывна, а область определения несвязна.

Подробная формулировка.

что

1. множество X (область определения функции) связное;

8

2.функция f непрерывная;

3.существуют наименьшее fнаим. f (x ) и наибольшее fнаиб. f (x ) значения.

Тогда для любого c ( fнаим. , fнаиб. ) существует такая точка xc X , в которой f (xc ) c .

Из теоремы следует, что функция f принимает на множестве X все значения из промежутка [ fнаим. , fнаиб. ].

Обобщение. Пусть Y f ( X ) – множество значений функции. Справедливо

более общее утверждение, а именно, если выполнены первые два условия теоремы, то функция принимает все значения из промежутка (inf Y , supY ) ,

причем не исключается, что inf Y , а supY .

Замечание.

Все варианты теоремы о промежуточном значении можно получить из следующего утверждения: множество значений непрерывной функции, заданной на связном множестве, является связным множеством. Дело в том, что единственными непустыми связными множествами в являются точки и произвольные интервалы.

вязные множества в n , n 1.

Пришла пора сказать, что в математике называют связным множеством. Интуитивное представление весьма традиционное – множество связное, если оно состоит из одного "куска". А это означает, что множество нельзя разбить на два непустых непересекающихся подмножества, каждый из которых ле-

жит в некотором открытом множестве пространства n , и эти открытые множества также не пересекаются. Множество несвязное, если такое разбиение существует.

9

Замечание. Существует еще одно понятие связности множества, которое называется линейной связностью. На интуитивном уровне: множество называется линейно связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в множестве. Что в математике понимают под словами "непрерывная линия", здесь обсуждать не будем. Линейно связные множества оказываются связными множествами, но существуют примеры связных множеств, которые не являются линейно связными. Однако лю-

множеств является открытым множеством). Аналогично строим открытое в

n множество W , содержащее f 1 (T ) . Осталось заметить, что шары можно выбрать так, что множества V и W не будут иметь общих точек. Действи-

тельно, точки пространства n обладают замечательным свойством, которое называется отделимостью: для любых двух разных точек пространства можно найти непересекающиеся открытые шары с центрами в этих точках

10

(достаточно взять радиус меньше половины расстояния между точками). Поэтому, уменьшая радиусы шаров, из которых построены множества, всегда можно сделать так, что V W .

В итоге приходим к выводу, что множество X несвязное, вопреки условию. Предположение о несвязности множеств значений привело к противоречию, следовательно, множество значений непрерывной на связном множестве функции, также образует связное множество. Связное множество в , отличное от точки, является интервалом, следовательно, функция принимает все значения из этого интервала. Теорема доказана.

Замечание. Свойством отделимости обладает произвольное метрическое пространство.

Дополнение.

Традиционное доказательство традиционного варианта теоремы Боль- цано-Коши о промежуточных значениях можно и нужно посмотреть в любых учебниках по математическому анализу, включая тексты в интернете. Рассматривается функция одной переменной, определенная и непрерывная на замкнутом отрезке [a0 ; b0 ]. Предполагается, что на концах функция прини-

мает значения разных знаков и утверждается, что внутри отрезка есть (хотя бы) одна точка c , в которой f (c) 0 . Традиционно для доказательства ис-

пользуют схему "деления пополам" (или, более красиво, принцип "дихотомии", что в переводе означает деление пополам). Вычисляется значение функции в середине отрезка. Если оно нулевое, то точка c найдена, в противном случае переходят к той половине, на концах которой функция принимает значения разных знаков. Этот отрезок обозначают [a1; b1 ]. Затем по-

является отрезок и так далее. Возникают неубывающая последовательность {an } и невозрастающая последовательность {bn }. Первая последо-

вательность ограничена сверху, вторая – снизу. Согласно теореме Вейерштрасса о монотонных ограниченных последовательностях, обе последовательности имеют предел, соответственно, a* an a* b* bn .