Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Предел последовательности (задача 1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2016

Размер:

396.23 Кб

Скачать

☆

Вашему вниманию предлагается первая задача самостоятельной работы "Предел последовательности". Проверяется знание определений и умение решать неравенства.

Определения четырех пределов последовательности.

Конечный предел ( A – число, – сколь угодно малое положительное число).

lim fn

A , если для

N( ) такой, что для всех n

N( ) верно, что

Бесконечные пределы (

– сколь угодно большое положительное число).

lim fn

, если для

N( ) такой, что для всех n

N( ) верно, что fn

lim fn

, если для

N( ) такой, что для всех n

N( ) верно, что fn

lim fn

, если для

N( ) такой, что для всех n

N( ) верно, что

Примеры решения первой задачи.

Пример 1.1. С помощью определения доказать, что lim

2110n

5 .

Найти

N ( ) при

3 2n

0,1;

0,01 .

1. Записать определение доказываемого предела.

lim

10n

N( ) : n N( )

10n

2. Решить неравенство.

Если возникает неравенство с модулем, то вначале стоит посмотреть на выражение, стоящее внутри модуля. Если при достаточно больших номерах оно имеет постоянный знак, то модуль можно убрать, в противном

случае придется вспомнить школьный материал:

(система неравенств)

; fn

(совокупность неравенств).

Преобразуем выражение, стоящее под знаком модуля:

10n

Видно, что при n

0 . Поэтому

2 выражение

в предполо-

3 2n

2n 3

жении, что n 2 .

Напоминание: при умножении неравенства на отрицательное выражение необходимо изменить его знак. Рекомендуется, по возможности, все выражения делать положительными. В частности, здесь в знаменателе

вместо 3 2n 0 появляется 2n 3 0 .

Получаем неравенство		6		, запомнив, что n	2 . При сделанном предположении 2n	3	0 и

		2n	3
		2n	3
тогда 6	(2n 3) 2 n			3 . Учитывая, что	0 , получаем решение неравенства: n	6	3	.
тогда 6	(2n 3) 2 n			3 . Учитывая, что	0 , получаем решение неравенства: n		2	.
							2

Замечание. Решение всегда должно иметь вид n больше положительного выражения, и номер должен увеличиваться при уменьшении .

3. Указать N( ).

Здесь, за редким исключением, придется использовать знак целой части числа. Если, например, решение

неравенства (для сколь угодно малого		0 ) имеет вид n	1	, то N( )	1	. Определение
предела требует, чтобы неравенство выполнялось для всех n				N( ) , то есть, начиная с		1	1, что
предела требует, чтобы неравенство выполнялось для всех n				N( ) , то есть, начиная с		1	1, что
больше, чем 1
больше, чем 1	.

Формальное доказательство предела последовательности не требует указания наименьшего номера, после

которого выполняется неравенство. В частности, вместо N( )									1	можно указать заведомо
больший, но легче вычисляемый номер N( )							1	. В контрольной работе в качестве ответа предла-
гается выбирать первый подходящий номер.
Здесь N( )		6	3	, N( )	2 .

		2
		2
4. Для предлагаемых значений					вычислить значения номера.
N(0,1)	6	0, 3	6, 3		63	31, 5		31;
N(0,1)		0,2	0,2		2	31, 5		31;
		0,2	0,2		2

Замечание. Здесь может случиться, что найденный номер окажется меньше того номера, при котором знак выражения внутри модуля становится определенным. Если для некоторого при вычислении номера

N( ) возникают проблемы, то в качестве ответа нужно указать номер, обеспечивающий выполнение пред-

положения. В данном случае 31				2 , и этой проблемы не возникает.
N(0, 01)	6	0, 03	6, 03	603	301, 5	301.
		0, 02	0, 02	2

Пример 1.2. С помощью определения доказать, что lim 10 n 0 . Найти N ( ) при

n 3 n2

0,1;

0,01 .

1. Записать определение доказываемого предела.

lim 10

N( ) : n

N( )

2. Решить неравенство.

Преобразуем выражение, стоящее под знаком модуля:

Видно, что при n

11 выражение n

0 , и поэтому

103 .

n	10
n2	3 .

																														3
Получаем неравенство										n	10			, запомнив, что n						11 . Знаменатель n2					3		0, поэтому
										n2	3
n		10				(n2		3)			n2		3	. Возникает квадратное неравенство										n2	n	3		10		0 . Так как
			0 , то решением этого неравенства будет объединение двух промежутков n																							n1 и n				n2 , где n1 и
n2			– корни соответствующего квадратного уравнения (на короткое время забываем, что n целое и положи-
тельное число). По логике задачи нас интересует решение n																						n2 . Находим корни квадратного трехчлена:

n		1			1		4 (3				10)		1		1		40	12	2	. Большему корню отвечает знак плюс, и интере-

							2										2
							2										2

сующее нас решение неравенства имеет вид n																		1	1		40	12	2	.

																					2
																					2
3. Указать N( ).

Здесь N(					)		1		1		40		12		2	,	N( )	11.

											2
											2
4. Для предлагаемых значений														вычислить значения номера.

N		(0,1)			1			1	4		0,12				? При подстановке						0,1 под корнем возникло отрицательное чис-

								0,2
								0,2
ло. Действительных корней у квадратного трехчлена нет. Это означает, что при всех n																													11 неравенство
	fn			0,1 выполняется. В этой ситуации полагаем N(0,1)																	11 (наверное, можно взять и меньшее зна-
	fn			0,1 выполняется. В этой ситуации полагаем N(0,1)																	11 (наверное, можно взять и меньшее зна-
чение номера, но останавливаемся на номере 11). Простой подсчет показывает, что																											f11		0, 008 0,1.
																											f11		0, 008 0,1.

N		(0, 01)					1	1	0, 4			0, 0012					1	0, 77	88 .

									0, 02								0, 02
									0, 02								0, 02
							f89	0, 00997					0, 01.
В частности,							f89	0, 00997					0, 01.

Пример 1.3. С помощью определения доказать, что lim(1 2 n ) . Найти N ( ) при

10; 100 .

1. Записать определение доказываемого предела.

lim 1

2 n

N( ) : n

N( )

1 2 n

2. Решить неравенство.

1 2 n

2 n

log (1

)

n (log (1

))2 .

Показательное неравенство логарифмируют, иррациональное неравенство возводится в квадрат.

3. Указать N( ).

N( )	(log (1	))2 .
	2

4. Для предлагаемых значений вычислить значения номера.

N(10)

(log (11))2

N(100)

(log (101))2

44 .

Здесь надо уметь вычислять логарифмы….

Задачи для тренировки.

1. С помощью определения доказать, что lim

n 3

Найти N ( ) при

n 6 n

0,1;

0,01 .

3 n2

2. С помощью определения доказать, что lim

Найти N ( ) при

n 5 3n

10;

100.

3. С помощью определения доказать, что lim

2n 1

0 . Найти N ( ) при

n 5 3n2

0,1;

0,01 .

4. С помощью определения доказать, что lim

5 10n

Найти N ( ) при

n 2n 5

0,1;

0,01 .

Соседние файлы в папке Математика 2 семестр

#
15.02.2016239.18 Кб45Дифференцирование функций.pdf
#
15.02.2016877.52 Кб49Исследование уравнения второй степени.pdf
#
15.02.2016398.01 Кб49Неопределенный интеграл.pdf
#
15.02.2016504.79 Кб56Определенный интеграл.pdf
#
15.02.2016500.89 Кб48Оптимизация функции.pdf
#
15.02.2016396.23 Кб47Предел последовательности (задача 1).pdf
#
15.02.2016127.23 Кб48Предел функции (варианты для тренировки).pdf
#
15.02.2016466.42 Кб59Предел функции (подготовка к контрольной работе).pdf
#
15.02.20161.04 Mб57Предел числовых последовательностей.pdf
#
15.02.2016198.67 Кб49Ряд Тейлора.pdf
#
15.02.2016619.39 Кб69Теоремы Вейерштрасса и Больцано Коши.pdf