Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
55
Добавлен:
15.02.2016
Размер:
500.89 Кб
Скачать

Задание: ОПТИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ

Оптимальные значения функции f (x, y) на некотором множестве D ‒ ее наибольшее fнаиб. fMAX и наименьшее fнаим. fMIN значения (заглавные латинские буквы подразумевают "глобальный" максимум и минимум, в отличие от локальных, которые будем обозначать строчными буквами ‒ fmax и fmin ). Оптимальные точки функции ‒ точки, в которых функция принимает

оптимальные значения. Задача оптимизации функции состоит в нахождении ее оптимальных значений и оптимальных точек. Естественно, имеется две задачи оптимизации ‒ поиск наибольшего

значения и поиск наименьшего значения. Решение задачи оптимизации ‒ пара fOPT , ARGOPT

из оптимального значения fOPT и набора ARGOPT оптимальных точек, в которых функция принимает это значение. Если множество D компактно, а функция f непрерывна, то обе задачи оп-

тимизации имеют решение (теорема Вейерштрасса). Если оптимальное значение принимается в единственной точке, то говорят, что решение единственное. Ситуацию, когда оптимальное значение принимается в нескольких точках, называют "альтернативным оптимумом".

Пример 1. Пусть f (x) sin x , D ( ; ) . Тогда fMAX 1, ARGMAX / 2 2 k, k Z , fMIN 1, ARGMIN / 2 2 k, k Z .

Пример 2. Пусть f (x) sin x , D (0; ) . Тогда fMAX 1, ARGMAX / 2 , наименьшего значения в данном случае нет (почему?).

Домашнее задание состоит из двух частей ‒ исследование критических (в данном случае, стационарных) точек функции в области ее определения и задача оптимизации функции в указанной области.

1. Найти и исследовать критические точки функции f (x, y) ( y 1)2 (x 3) (x 5)2 10.

Решение. Область определения функции ‒ R2 (вся плоскость). Находим точки стационарности функции ‒ точки, в которых grad f (x, y) 0 , точки, в которых все частные производные

равны нулю. Вычисляем f (x, y) ( y 1)2

2(x 5) ,

f (x, y) 2( y 1)(x 3) и решаем систему

x

 

y

 

( y 1)2 2(x 5) 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнений

 

. Получаем три стационарных точки (они же ‒ "подозритель-

 

2( y 1)(x 3) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ные" на локальный экстремум): M1 (3; 3) , M2 (3;1)

и M3 (5; 1) .

 

 

 

 

 

Вычисляем вторые производные и записываем матрицу Гессе:

f (x, y) 2 ,

f (x, y) 2(x 3) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx

 

 

 

yy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x, y)

 

(x, y)

 

 

2

2( y 1)

 

f (x, y)

f

(x, y) 2( y 1) . Матрица

H (x, y)

fxx

fxy

 

.

 

f

(x, y)

f

(x, y)

2( y 1) 2(x 3)

xy

yx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yx

 

yy

 

 

 

 

 

 

Точка M1 (3; 3) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

4

 

16

0 . Согласно признаку, в точке M1 (3; 3)

 

2

 

 

H (M1 )

4

, Det H (M1 )

4

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

локального экстремума нет (седловая точка, точка гиперболического типа).

Точка M2 (3;1) :

 

 

 

 

 

 

 

H (M2 )

2

4

 

2 )

 

4

 

16

0 . Согласно признаку, в точке M2 (3;1)

локально-

2

 

 

 

, Det H (M

 

 

 

 

4

0

 

 

4

0

 

 

 

 

го экстремума нет (седловая точка, точка гиперболического типа).

Точка M3 (5; 1) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

Det H (M3 )

 

0

 

8

0 . Согласно признаку, в точке M3 (5; 1)

 

2

 

 

H (M3 )

4

,

0

4

 

есть ло-

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(M3 ) 2

0 , то M3 (5; 1) ‒ точка

кальный экстремум (точка эллиптического типа). Так как fxx

локального минимума. Значение f (M3 ) f (5; 1) 10 .

График в окрестности седловой точки

График в окрестности точки локального минимума

2. Найти наибольшее fMAX и наименьшее fMIN значения этой функции в области D , ограниченной линиями y x , y 2 , x 1 и x 6 .

Рисуем область.

 

y

 

 

C

M4

y 2

B

E

M6

M2

 

x 1

O

 

x

 

 

 

 

 

M3

M5

 

 

 

 

 

M1

x 6

 

 

 

 

 

y x

 

 

6

 

A

 

 

 

Получился четырехугольник (трапеция) ABCE .

Из общих соображений понятно, что оптимальные точки следует искать среди точек локальных экстремумов, лежащих внутри области, и среди точек на границе области. Маленькая хитрость состоит в том, что в задаче оптимизации, как правило, не проводят исследование критических точек на экстремум, ограничиваясь только вычислением значений функции.

Из первой части задания выписываем критические точки, попавшие вовнутрь области, и вычисляем значения функции: M2 (3;1) , f (M2 ) 14 ; M3 (5; 1) , f (M3 ) 10 .

Приступаем к исследованию функции на границе области (так называемая задача условной оптимизации ‒ найти оптимальные значения функции при условии, что ее аргумент находится на границе области). Граница состоит из четырех отрезков, поэтому придется четыре раза проделать примерно одно и то же.

Отрезок CB . Его уравнение y 2 , 1 x 6 . Обозначим fCB (x) функцию

f (x, y) при усло-

вии, что y 2 . В данном случае f

CB

(x) f (x; 2) 9(x 3) (x 5)2 10

x2 x 8 . Получаем

 

 

 

 

 

"школьную" задачу ‒ найти наибольшее и наименьшее значение функции

f

CB

(x) x2 x 8 на

отрезке [ 1; 6] .

Вычисляем производную, приравниваем ее к нулю, находим критические точки, попавшие вовнутрь отрезка, затем вычисляем значения функции в этих точках и на концах промежутка.

 

(x) 2x 1 0

x 0,5[1; 6] ;

fCB 0,5 7, 75,

fCB 1 10 ,

fCB 6 38 .

fCB

Возвращаемся к исследуемой функции. Вспоминаем, что на отрезке CB y 2 . В области определения возникает новая точка M4 (0,5; 2) (отмечаем ее на рисунке) и f (M4 ) fCB (0,5) 7, 75 . Концы отрезка ‒ точки C и B , поэтому f (C) fCB (1) 10 , f (B) fCB (6) 38 .

Отрезок AB . Его уравнение x 6 , 6 y 2 . Обозначим

fAB ( y) функцию f (x, y) при усло-

вии, что x 6 . В данном случае f

AB

( y) f (6; y) 3( y 1)2

11. Получаем задачу ‒ найти

 

 

 

 

 

 

наибольшее и наименьшее значение функции f

AB

( y) 3( y 1)2 11 на отрезке [ 6; 2] .

 

 

 

 

 

 

 

y 1[6; 2] ; fAB

1 11, fAB 6 86 , fAB 2 38 .

fAB ( y) 6( y 1) 0

Последнее значение можно было не вычислять (почему?). Разве что для контроля вычислений.

Возвращаемся к исследуемой функции. На отрезке AB x 6 . В области определения возникает новая точка M5 (6; 1) и f (M5 ) fAB (1) 11. На конце A имеем f (A) fAB (6) 86 .

Отрезок CE . Его уравнение x 1 , 1 y 2 . Обозначим fCE ( y) функцию f (x, y) при условии,

что x 1. В данном случае f

CE

( y) f ( 1; y) 4( y 1)2 46 . Получаем задачу ‒ найти

наибольшее и наименьшее значение функции f

CE

( y) 4( y 1)2

46 на отрезке [1; 2] .

 

 

 

 

 

f ( y) 8( y 1) 0 y 1[1; 2], остается только вычислить значение функции на левом

CE

конце: fCE 1 20 .

Возвращаемся к исследуемой функции. На отрезке CE x 1 , поэтому f (E) fCE (1) 20 .

Остался отрезок EA . Его уравнение y x ,

1 x 6 . Обозначим fEA (x) функцию f (x, y)

при условии, что y x . В данном случае

 

 

 

f

EA

(x) f (x; x) ( x 1)2 (x 3) (x 5)2

10 x3 4x2 3x 32 . Ищем наибольшее и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

наименьшее значение функции

 

 

f

EA

(x) x3

4x2

3x 32 на отрезке [ 1; 6] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

(x) 3x2 8x 3 0

x

 

1

[ 1; 6],

x 3 [ 1; 6] . Очень редкое явление ‒ "хоро-

 

 

EA

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

878

 

 

 

fEA 3 14 . Значения на концах можно не вычислять.

шие корни". Далее fEA

 

 

 

 

 

 

 

32,5 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

Возвращаемся к исследуемой функции. Уравнение отрезка EA

y x . В области определения

возникает новая точка M6 (1/ 3;1/ 3) и уже знакомая по из первой части точка M1 (3; 3) . По-

следние вычисления: f (M6 ) fEA (1/ 3) 878 / 27 32,5 , а

f (M1) fEA (3) 14 .

Осталось "подведение итогов". Выписываем все отмеченные точки и значения функции в этих точках в таблицу (не обязательно):

f (M1) f (3; 3) 14

 

 

 

f (M2 ) f (3;1) 14

 

 

 

f (M3 ) f (5; 1) 10

 

 

 

f (M4 ) f (0,5; 2) 7, 75

MIN

 

 

f (M5 ) f (6; 1) 11

 

f (M6 ) f ( 1/ 3;1/ 3) 32,5

 

f (A) f (6; 6) 86

MAX

 

 

f (B) f (6; 2) 38

 

 

 

f (C) f ( 1; 2) 10

 

 

 

f (E) f ( 1;1) 20

 

 

 

Остается записать ответ и посмотреть на картинку.

Дополнение. Множество точек, в которых определитель матрицы Гессе равняется нулю (точек па-

раболического типа) оказывается параболой, определяемой уравнением

 

1 DetH (x, y)

1

2

2( y 1) x 3 ( y 1)2 0 .

 

4

4 2( y 1)

2(x 3)

 

 

Парабола разбивает плоскость на две области

 

 

 

2

 

 

 

 

 

5

 

10

15

20

25

2

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

Все точки вне параболы имеют гиперболический тип, а внутри ‒ эллиптический тип. Во внутрен-

ней области функция выпукла вниз, а все точки графика, расположенные над внешней областью ‒

седловые.

 

 

 

 

 

На поверхности графика лежит прямая линия, проходящая через точку (3; 0;14) , параллельная оси Oy . Ее можно разглядеть на втором рисунке.