Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряд Тейлора

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2016

Размер:

198.67 Кб

Скачать

☆

Задача. Разложить функцию f ( x) в ряд Тейлора по степеням x . Найти область и

радиус сходимости ряда.

Изготовление задачи.

Рассмотрим известное (еще со школы) разложение:

t t 2

t3 ... t k .

1 t

k 0

Этот ряд (геометрическая прогрессия) сходится абсолютно при

1, а при

1 –

расходится.

Замена t t дает еще одно разложение:

1
	1	t t 2	t3 ... ( 1)k t k
1 t	1	t t 2	t3 ... ( 1)k t k
1 t			k 0

с той же областью сходимости.

Замена t 3x приводит к разложению

1
	1	3x 9x2	27 x3 ... 3k xk .
1 3x	1	3x 9x2	27 x3 ... 3k xk .
1 3x			k 0

Этот ряд сходится абсолютно при 3x 1 x 13 .

Сделаем еще одну подстановку: t 2x . Получаем разложение

1			x					x2	x3			( 1)k xk
		1									...		.
1	x	1	2					4	8		...	2k	.
	x		2					4	8		k 0	2k
	2
Этот ряд сходится абсолютно при					x			1		x	2.


				2
				2
Умножим последнее разложение на							1	:
Умножим последнее разложение на						2		:
						2

1			1			1			1		x			x	2			x	3
															2				3
										1										...
2				x				2		1	2		4				8			...
2		1		x		2 x		2			2		4				8
		1		2																.
	1			x	x2		x3					( 1)k				xk
								...
	2			4	8		16	...					2k 1
	2			4	8		16			k 0			2k 1

Область сходимости ряда при этом не изменяется, ряд сходится абсолютно при x 2.

А теперь сложим полученные ряды:

									2			3
1		1	1 3x 9 x2 27 x3 ...	1		x		x			x		...
1 3x		x	1 3x 9 x2 27 x3 ...										...
1 3x	2	x		2	4		8			16

	3		11x		73			x2		431		x3	...
								x2				x3	...
2		4				8				16
							( 1)k xk									( 1)k					2 6k ( 1)k
3k xk													3k					xk					xk .
3k xk						2			k 1				3k			2	k 1	xk			2	k 1	xk .
k 0				k 0		2					k 0					2			k 0		2
Первый ряд сходится при												x		1	, второй – при				x	2. Понятно, что сумма рядов
														1
														3
														3

будет сходиться в области, в которой сходятся оба ряда, следовательно, полученный

ряд сходится (абсолютно) при x 13 .

А теперь сложим функции:

2 x 1 3x

3 2x

2x 3

1 3x

(1 3x)(2 x)

2 5x 3x2

3x2 5x 2

В результате получаем разложение

2x 3

11x

431

2 6k ( 1)k

x3 ...

xk .

3x2

2k 1

5x 2

k 0

Равенство верно для всех x , при которых это ряд сходится, то есть при

А теперь сформулируем задачу.

Разложить функцию f ( x)	2x 3	в ряд Тейлора по степеням	x . Найти
	3x2 5x 2

область и радиус сходимости ряда.

Задание 1 (упражнение на вычисление производных). Найти первые 4 ненулевых члена ряда Тейлора, используя определение.

Решение. Ряд Тейлора по степеням x имеет вид

f (0)

(0)

....

Вычисления.

f (0)

2(3x2

5x 2) (2x 3)(6x 5)

6x2 18x 11

( x)

(3x2 5x 2)2 .

(3x2 5x 2)2

(0) 4

f ( x)

( 12x 18)(3x2 5x 2)2 ( 6x2 18x 11)2(3x2 5x 2)(6 x 5)

(3x2

5x 2)4

( 12x 18)(3x2 5x 2) 2( 6x2 18x 11)(6x 5) (3x2 5x 2)3

Нас будет интересовать значение в нуле, поэтому можно не делать упрощений:

f (0) 18 2 23 11 5 73 . ( 2) 4

А для вычисления третьей производной имеет смысл привести подобные в числителе.

f ( x) 218x3 81x2 99x 73 . (3x2 5x 2)3

f ( x) 2 (54 x2 162 x 99)(3x2 5x 2)3 (3x2 5x 2)6

(18x3 81x2 99 x 73)3(3x2 5x 2)2 (6 x 5)

2 (54 x2 162 x 99)(3x2 5x 2) 3(18x3 81x2 99 x 73)(6 x 5) .

(3x2 5x 2)4


	f (0) 2				( 99) ( 2) 3 ( 73) 5								1293			.
	f (0) 2						( 2)4					8				.
							( 2)4					8
Записываем полученные члены ряда Тейлора:

	3		11	x		73	x2	1293	x3 ...		3			11	x		73	x2	431	x3	...
				x		4 2!	x2		x3 ...						x			x2		x3	...
2		4				4 2!		8 3!		2		4					8		16

Задание 2. Разложение функции в ряд с использованием стандартных разложений.

Проделаем действия, обратные к тем, которые происходили при создании задачи.

Выражение	2x 3		называется правильной (степень числителя меньше степени

	3x2	5x 2

знаменателя) рациональной дробью. Если знаменатель такой дроби раскладывается на множители x a и x b, то ее можно представить суммой так называемых

A B

простейших дробей первого типа, которые имеют вид x a и x b . Если

знаменатель не раскладывается на множители, то дробь уже является простейшей второго типа. В данном случае

3x2 5x 2 ( x 2)(3x 1) и возникает задача разложения дроби на простейшие:

2x 3	2x 3	A	B
				.
3x2 5x 2	( x 2)(3x 1)	x 2	3x 1

Необходимо найти коэффициенты A, B . С этой целью приводим сумму дробей к общему знаменателю и приравниваем числители левой и правой частей равенства:

	2x 3		A(3x 1) B( x 2)
	( x 2)(3x 1)		( x 2)(3x 1)

A(3x 1) B( x 2) 2x 3.

Последнее равенство должно выполняться при любых значениях x . Удобно подставить

x 2 и x 13 (корни квадратного трехчлена).


При x 2 получаем A ( 7) 7 A 1.
При x		1	получаем B	7		7	B 1.
	3			3		3

			2x 3	1			1		1	1
В итоге,											.
	3x2 5x 2				x 2			3x 1	2 x	1 3x

Известно разложение для функции вида 1 t . Именно поэтому знаменатели дробей

переписаны так, чтобы на первом месте стояло число. Второе слагаемое имеет нужный вид (при этом t 3x ). Необходимо исправить знаменатель первой дроби – вынести

множитель 2 из знаменателя:						1		1		1		. Окончательное представление имеет
множитель 2 из знаменателя:					2	x		2		1	x	. Окончательное представление имеет
					2	x		2			x

										2
вид:	2x 3	1	1				1		.
вид:	3x2 5x 2	2	1	x		1 3x			.
	3x2 5x 2	2		x		1 3x

			2

Применяя стандартные разложения, получаем ряд Тейлора для исследуемой функции:

1		1			1	1				(1)		k	x	k							(1)	k
1		1			1	1				(1)		k	x	k	3k xk						(1)	k	3k xk

2	1		x		1 3x			2 k 0			2k					k 0			k 0 2k 1
	1		2

		(1)k			2 6k				3		11x				73			431
							xk										x2		x3	...
				2k 1			xk		2			4			8		x2	16	x3	...
	k 0			2k 1					2			4			8			16

Первый ряд сходится при	x	2, второй при	x	1	, сумма будет сходиться при
				1
				3
				3

x 13 . Радиус сходимости этого ряда Тейлора равен 13 .

Замечание. Можно говорить о ряде Тейлора функции с указанием точки a , в которой вычисляются производные. Или можно говорить о ряде Тейлора по степеням x a .

Фраза “ряд Тейлора по степеням x ” означает, что a 0 . Ряд Тейлора по степеням x

часто называют рядом Маклорена.

Соседние файлы в папке Математика 2 семестр

#
15.02.2016500.89 Кб48Оптимизация функции.pdf
#
15.02.2016396.23 Кб47Предел последовательности (задача 1).pdf
#
15.02.2016127.23 Кб48Предел функции (варианты для тренировки).pdf
#
15.02.2016466.42 Кб59Предел функции (подготовка к контрольной работе).pdf
#
15.02.20161.04 Mб57Предел числовых последовательностей.pdf
#
15.02.2016198.67 Кб49Ряд Тейлора.pdf
#
15.02.2016619.39 Кб69Теоремы Вейерштрасса и Больцано Коши.pdf
#
15.02.2016280.73 Кб45Частные производные.pdf