Математика 2 семестр / Математика 2 семестр / Неопределенный интеграл

1

§15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

15.1.Первообразная функция.

Определение 1. Пусть f : (a,b) R непрерывная функция. Дифференцируемая функция F : (a,b) R называется первообразной функцией по отношению к функции f , если

F (x) f (x) для всех x (a,b) .

Примечания. По определению, первообразная функция определена на промежутке, при этом промежуток может быть как конечным, так и бесконечным. Первообразная функция определяется только для непрерывной на промежутке функции. Первообразная функция является дифференцируемой функций по определению. Так как дифференцируемые функции необходимо являются непрерывными функциями, то первообразные являются непрерывными функциями.

Примеры первообразных. 1. Пусть f (x) 2x, x R . Функции F(x) x2 , G(x) x2 2 ,

Следующее предложение отвечает на вопрос, у каких функций имеются первообразные.

Предложение 1. Любая функция, непрерывная на промежутке, имеет первообразную.

Примечания. Обсудить доказательство этого утверждения можно будет только после того, как появится понятие определенного интеграла. Далеко не у каждой элементарной функции имеется

первообразная, выражающаяся элементарной функцией. Например, функция e x2 непрерывная, следовательно, имеет первообразную, но эта первообразная не является элементарной функцией (ее невозможно выразить через основные элементарные функции). В некоторых случаях неэлементарные первообразные получили специальные обозначения и названия. Так, первообразная для

функции sin x , x 0 , обозначается Si(x) и называется синус интегральный. x

Покажем, что у функции имеется бесконечно много первообразных.

Предложение 2. Пусть функция F (x) является первообразной для функции f (x) . Тогда для любого числа C функция F(x) C также является первообразной функцией для функции

f (x) .

Доказательство элементарное: (F(x) C) F (x) C f (x) 0 f (x) .

Возникает естественный вопрос, как устроено множество всех первообразных данной функции f (x) ? Из предыдущего предложения видно, что оно заведомо содержит все функции ви-

да F(x) C , где F (x) какая-то первообразная для f (x) . Из следующего предложения будет видно, что этими функциями и исчерпывается всё множество первообразных.

Предложение 3. Разность любых двух первообразных для данной функции является постоянной функцией.

2

Доказательство. Пусть F (x) и G(x) две первообразные для функции f (x) . И пусть

H (x) F(x) G(x) . Разность дифференцируемых функций является дифференцируемой функцией. Из определения первообразной функции следует, что H (x) F (x) G (x) f (x) f (x) 0 . Из признака постоянства дифференцируемой функции немедленно следует, что функция H (x) C , где C некоторое число.

Следствие (о строении множества первообразных). Пусть F (x) некоторая первообразная для функции f (x) . Тогда любая первообразная для этой функции может быть представлена в виде F(x) C , где C некоторое число. Действительно, если G(x) другая первообразная для функции f (x) , то существует такое число C , что F(x) G(x) C , и, следовательно,

G(x) F(x) C .

Примечание. Последнее свойство первообразных позволяет легко доказать равенства

Действительно, дифференцирование показывает, что функции arcsin x и arccos x являются пер-

янной для всех x [ 1, 1] . Для определения значения это постоянной возьмем x 0 , и тогда

C arcsin 0 arccos 0 0 . Докажите самостоятельно второе равенство.

2 2

Функции, определенные на одном промежутке, можно складывать и умножать на числа. Отметим связи между этими операциями над функциями и их первообразными

Предложение 4. Сумма первообразных является первообразной для суммы функций. Произведение первообразной на число является первообразной для произведения функции на это число. Более точно, если F (x) и G(x) первообразные для функций f (x) и g(x) , а R , то

F(x) G(x) будет первообразной для f (x) g(x) , а F (x) первообразная для f (x) . Доказать самостоятельно.

15.2. Неопределенный интеграл.

Определение 2. Неопределенным интегралом от данной функции называется совокупность всех ее первообразных.

Неопределенный интеграл от функции f (x) обозначают символами f (x)dx или f (x) .

Мы уже знаем, как устроено множество всех первообразных для данной функции, поэтому возникает символическое равенство

f (x)dx F(x) C ,

Здесь F (x) какая-то одна из первообразных для функции f (x) , а C R произвольное число.

По традиции C называют произвольной постоянной, и говорят, что неопределенный интеграл равен сумме некоторой первообразной и произвольной постоянной.

Предположим, что функция f (x) дифференцируемая на некотором промежутке, а ее производная на этом промежутке непрерывная. Тогда f (x) является первообразной для её производной функции f (x) . Подставляя f (x) и f (x) в символическую формулу, и учитывая, что f (x)dx df (x) , получаем первое свойство неопределенного интеграла.

Предложение 5. f (x)dx df (x) f (x) C

Замечания. Неопределенный интеграл от дифференциала равен функции, стоящей под знаком дифференциала плюс произвольная постоянная. Говорят, что знак интеграла аннулирует знак дифференциала. Неопределенный интеграл это множество функций. Поэтому складывать не-

3

определенные интегралы или умножать их на число без объяснений, вообще говоря, нельзя. Под суммой двух неопределенных интегралов будем понимать множество всех сумм пар функций, которые берутся из разных интегралов. А произведение неопределенного интеграла на число будет состоять из произведений на это число всех функций, входящих в неопределенный интеграл.

Из предложения 4 немедленно вытекают линейные свойства операции неопределенного интегрирования f f , которая сопоставляет функции ее неопределенный интеграл.

Предложение 6. Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме их неопределенных интегралов: ( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx .

Неопределенный интеграл от произведения функции на число равен произведению ее неопределенного интеграла на это число: f (x)dx f (x)dx, R . (Так же говорят, что чис-

ловой множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.)

Тем более необходимо объяснить, что мы будем понимать под производной от неопределенного интеграла. Неопределенный интеграл состоит из дифференцируемых функций. Под производной такого множества будем понимать множество из производных функций. Например,

{sin x, x2 3x, e x} {cos x, 2x 3, e x}. Так как все функции, входящие в неопределенный интеграл f (x)dx , являются первообразными для одной и той же функции f (x) , то все их производ-

ные равны f (x) . Таким образом мы приходим к еще одному свойству неопределенного интеграла.

Предложение 7. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функ-

ции: f (x)dx f (x) . Соответственно, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d f (x)dx f (x)dx .

Замечание. Знак дифференциала аннулирует знак неопределенного интеграла.

Дополнение. Пусть – множество непрерывно дифференцируемых на некотором промежутке функций (термин

водная постоянной функции равна нулю. Операция неопределенного интегрирования является обратной к операции дифференцирования: D 1 , а неопределенный интеграл f D 1 ( f ) есть не что иное, как полный прообраз функции f относительно дифференцирования D .

15.3. Вычисление неопределенных интегралов.

Вычисление неопределенного интеграла является операцией, обратной к вычислению производной. Вспоминая таблицу производных, после небольшой редакции, получаем таблицу неопределенных интегралов. Интегралы (и функции), входящие в таблицу, называются табличными, Интегрирование табличных функций производится с помощью таблицы. Чем больше интегралов в таблице, тем она лучше. Но есть стандартный минимум, приблизительно такой.

1. Интеграл от степени.

ta 1

ta dt a 1 C, a 1 .

Частные случаи полезно выучить:

1dt dt t C, dtt 2t C, dtt2 1t C .

2. Логарифм.

dtt t 1dt ln | t | C , здесь либо t 0 , либо t 0 .

5

правило, опускают, и сразу записывают ответ F(t(x)) C . И тогда этот метод называют методом подведения части подынтегрального выражения под дифференциал (имеется в виду преобразование t (x)dx dt(x) ). Рассмотрим несколько простейших подстановок.

Линейная подстановка использует легко проверяемое равенство

f (ex )ex dx f (ex )dex F(ex ) C.

Тригонометрические подстановки основаны на равенствах cos x dx d sin x и sin x dx d cos x :

f (sin x) cos xdx f (sin x)d sin x F(sin x) C,

f (cos x)sin xdx f (cos x)d ( cos x) F(cos x) C.

Отметим, что любая функция из таблицы производных может играть роль подстановки. Кроме того, подстановки могут комбинироваться друг с другом, например, линейная и логарифмическая:

Метод замены переменной основан на следующем, легко проверяемом дифференцированием, равенстве:

6

Замена переменной позволяет заменить вычисление интеграла от функции g на вычисление интеграла от функции f , при этом, конечно, стараются сделать такую замену, чтобы интеграл от новой функции стал проще первоначального интеграла. После того, как интеграл от новой функции найден, требуется вернуться к исходной переменной с помощью формулы t 1 (x) , где функция

1 является обратной к функции . В частности, если f (t)dt F (t) C , то исходный интеграл

g(x)dx F( 1 (x)) C. Из рассуждений немедленно следует, что функция (t) , с помощью ко-

торой осуществляется замена переменной, должна быть дифференцируемой и иметь обратную функцию.

Здесь замена привела к "уничтожению" квадратного корня. Квадрат косинуса допускает понижение степени, в итоге возникают табличные интегралы.

Последний метод, который мы рассмотрим, называется методом интегрирования по частям. Идея по-прежнему состоит в преобразовании подынтегральной функции, а реализация основана на так называемой формуле интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Предложение 9. Пусть u u(x) и v v(x) дифференцируемые функции. Тогда

udv uv vdu.

Доказательство. Из формулы для производной произведения (uv) u v uv немедленно получаем, что uv (uv) vu , и, следовательно, uv dx (uv) dx vu dx .

Осталось заметить, что (uv) dx uv C , а u dx du, v dx dv . Произвольная постоянная C в

окончательной формуле не пишется, так как считается, что она содержится в интеграле vdu .

Применение формулы интегрирования по частям начинается с представления подынтегрального выражения в виде произведения некоторой функции на дифференциал другой функции:

f (x)dx u(x)v (x) dx u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) u(x)v(x) v(x)u (x) dx

f ( x) g ( x)

u(x)v(x) g(x)dx.

Интегрирование функции f заменяется на интегрирование функции g .

Некоторые функции удается проинтегрировать только с помощью интегрирования по частям. К ним относятся следующие два больших класса функций.

Здесь после применения формулы интегрирования по частям показатель степени у множителя xn уменьшается на единицу, а после n кратного применения формулы этот множитель исчезает.

8

Упражнения. Вычислить неопределенные интегралы.

Для тренировки к контрольной работе можно использовать любой задачник по математическому анализу, выбирая похожие примеры.

Приложение. План ответа.

1.Первообразная функция. Определение, примеры, свойства.

2.Неопределенный интеграл. Определение, примеры, свойства.

3.Вычисление неопределенных интегралов. Методы интегрирования: непосредственное, подстановка (подведение под дифференциал), замена переменной, интегрирование по частям в неопределенном интеграле.