Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Частные производные

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2016

Размер:

280.73 Кб

Скачать

☆

ЗАДАНИЕ «ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ»

	f (x, y)		x2
Дана функция				, точка M (4; 1) , вектор s ( 1;3) . Найти
Дана функция			x 3y	, точка M (4; 1) , вектор s ( 1;3) . Найти
1. Частные производные
							(x, y) .
fx (x, y), f y (x, y), fxx		(x, y), fxy			(x, y), f yx	(x, y), f yy	(x, y) .

2. Градиенты grad f (x, y) , grad f (M ) , сделать рисунок. Матрицы Гессе H (x, y) , H (M ) , определить тип точки M .

3. Производные вдоль вектора и по направлению

f (M ) и f (M ) .

Демонстрационный вариант с комментариями.

2x (x 3y) x

6xy

1. fx (x, y)

(x 3y)

x 3y

3y)

f y (x, y)

( 1) (x 3y) 2

48.

x 3y

3y)

(2x 6 y) (x 3y)

6xy) 2 (x 3y) 1

6xy

(x, y)

fxx

(x 3y)

3y)

(2x 6 y) (x 3y) 21 (x2 6xy) 2 (x 3y)

(x 3y) 43

(2x 6 y) (x 3y) (x2 6xy) 2

2x2

6xy 6xy 18 y2 2x2 12xy

3y)3

(x 3y)2

18 y2

18.

(x 3y)2

6xy

(x 3y)

6xy) 2

(x 3y) 3

(x, y)

fxy

(x 3y)

6x (x 3y) 21 (x2

6xy) 6 (x 3y)

3y) 43

6x (x 3y) (x2 6xy) 6

6x2 18xy 6x2 36xy

(x 3y)3

(x 3y)2

18xy

72.

(x 3y)2

6x (x 3y)

2 (x 3y) 1

(x, y)

f yx

(x 3y)

3y)

6x (x 3y) 21 3x2 2 (x 3y) 1

(x 3y) 43

6x (x 3y) 6x2

6x2 18xy 6x2

(x 3y)3

(x 3y)2

18xy

72.

(x 3y)2

18x

(x, y)

( 2) (x 3y)

288.

f yy

(x 3y)2

На этом «трудные» вычисления заканчиваются. Без тренировки избежать

ошибок практически невозможно. Символ

называется подстановкой, он

подразумевает вычисление значения выражения в точке M .

2. По определению

grad f (x, y) fx (x, y) i f y (x, y) j fx (x, y), f y (x, y) .

6xy

Поэтому grad f (x, y)

(x 3y)2

а grad f (M ) 8 i 48 j 8, 48 .

Векторы можно записывать в базисной форме или в координатной форме, обе формы (как здесь) писать не нужно.

Матрица Гессе

f (x, y)

H (x, y) xx

f (x, y)

18		y	2


(x 3y)	2	xy

		18 y2		18xy
	(x, y)
		(x 3y)	2	(x 3y)		2
fxy		(x 3y)		(x 3y)


	(x, y)	18xy		18x
f yy	(x, y)	18xy		18x	2
					2

		(x 3y)2		(x 3y)2
		(x 3y)2		(x 3y)2

x2 .

	18	72				72	0
					18
H (M )	72	288	, определитель	H (M )	72	288		, точка M

имеет параболический тип.

Тип точки определяется знаком определителя матрицы Гессе. Если определитель положительный, то точка имеет эллиптический тип, если определитель отрицательный, то тип точки гиперболический, и если определитель равен нулю, то тип точки – параболический. Названия связаны с внешним видом поверхности вблизи точки. Достаточно малая окрестность точки эллиптического типа имеет вид части эллипсоида, в частности, она выпуклая. В случае гиперболического типа поверхность устроена как гиперболический параболоид, известный еще как седловая поверхность. В параболическом случае достаточно малая часть поверхности устроена как цилиндр. В данном примере определитель матрицы Гессе равен нулю во всех точках, а ее график вблизи рассматриваемой точки имеет следующий вид:

3. Производная от функции вдоль вектора s является вспомогательным понятием и вычисляется по формуле

f (M ) grad f (M ), s .s

В данном случае f (M ) ( 8, 48), ( 1,3) 8 144 136 .s

Производная функции по направлению определяется как производная вдоль

вектора s0

единичной длины (так договорились). Поэтому

|| s ||

f (M )

grad f (M ), s .

|| s ||

Так как || s ||

f (M )

136

43. Отрицательный знак произ-

10 , то

водной говорит, что функция в направлении вектора s ( 1,3) убывает. Максимальная скорость убывания функции достигается в направлении, противоположном градиенту. Производная в этом направлении равна норме градиента с минусом, приблизительно, 48,7 . В направлении градиента скорость роста функции наибольшая, производная в этом направлении равна

837 48,7

Рисунок к данной задаче трудно выполнить аккуратно (число 48 достаточно большое по сравнению с числом 1). Поэтому ограничимся приблизительной картинкой. И вектор направления, и градиент принято откладывать от той точки, в которой они вычисляются:

y	2	s
	2	s
4		4

1		M	x
			x

grad f (M)

Задачи для тренировки:
Дана функция	f (x, y)		x 2		, точка M ( 3; 1) , вектор s ( 1;3) .
		x	2 y2

Дана функция	f (x, y)	x 3y		, точка M (1; 2) , вектор s ( 1;3) .
		4 3x

Дана функция	f (x, y)	x2 3y			, точка M ( 3; 2) , вектор s ( 1;3) .
		3 y

Соседние файлы в папке Математика 2 семестр

#
15.02.2016127.23 Кб48Предел функции (варианты для тренировки).pdf
#
15.02.2016466.42 Кб59Предел функции (подготовка к контрольной работе).pdf
#
15.02.20161.04 Mб57Предел числовых последовательностей.pdf
#
15.02.2016198.67 Кб49Ряд Тейлора.pdf
#
15.02.2016619.39 Кб69Теоремы Вейерштрасса и Больцано Коши.pdf
#
15.02.2016280.73 Кб45Частные производные.pdf