Chernov_-_Vvedenie_v_LP

ZM2В 30 14,40 1680 2112 .

Существующий оптимум (1980 руб.), как и следовало ожидать, находится в промежутке между нижним и верхним значением дохода. При снижении цены ниже нижнего критического значения, равного 8 руб., оптимальный план изменится скачком. Он перейдет из точки М в точку А. Этой точке соответствует производство одного только первого коктейля "Утро" в объеме 160 л. Доход для такого оптимального плана определится выражением:

ZA2 12 160 c2 0 1920 .

При повышении цены выше верхнего критического уровня 14,40 руб. оптимальный план также резко изменится. Он перейдет из точки М в точку К. В соответствии с новым планом следует производить по 80 л коктейля каждого вида. Доход для такого плана определится формулой

ZK2 12 160 c2 80 80 c2 960.

Как и в случае с изменением цены с1 проверим согласованность формул дохода на границах ценового промежутка для цены с2. Должно быть:

ZM2 ZA2 при c2 c2н 8,

ZM2 ZK2 при c2 c2в 14,40.

Действительно, на нижней границе

ZM2 30 c2 1680 30 8 1680 1920 .

ZA2 1920 .

На верхней границе

ZM2 30 c2 1680 30 14,40 1680 2112 ,

ZK2 80 c2 960 80 14,40 960 2112 .

81

Таким образом, формулы на границах полностью согласованы. Сопоставление формул для ZM1 и ZM2

Z1M 140 c1 300 ,

ZM2 30 c2 1680 .

показывает, что изменение цены первого продукта на 1 руб. превращается в изменение дохода на 140 руб., а изменение цены второго продукта на 1 руб. влечет изменение дохода на 30 руб. Изменение цены на 1 руб. имеет ценность в 140 руб. в одном случае и в 30 руб. - в другом.

Это соответствует компонентам оптимального плана М = (140; 30). Таким образом, при повышении цен бару выгодно повышение цены на первый коктейль. При снижении цен выгоднее снижение цены на второй коктейль.

3.5. Ресурсный постоптимизационный анализ

При решении задачи линейного программирования (свободные члены ограничений) считаются величинами постоянными. Для задачи производственного планирования правые части системы ограничений - это запасы ресурсов. В реальной хозяйственной практике запасы материально-вещественных ресурсов изменяются достаточно быстро. Часть их затрачивается в процессе производства, и в то же время поступают новые партии ресурсов, пополняющие запасы. Важно знать, как будет изменяться оптимальный план и оптимум при таких ресурсных изменениях. Важно уметь определить ценность различных ресурсов, понять, какой дополнительный доход можно получить при дополнительном привлечении тех или иных ресурсов.

Такой анализ для задачи со многими переменными может быть проведен на основе теории двойственности и параметрического программирования. Мы проведем его для задачи с двумя переменными

82

на основе изучения графиков. Сохраняя все основные черты общего случая, этот способ обладает необходимой наглядностью.

Выше мы уже проанализировали ресурсную обеспеченность оптимального плана. К основным задачам дальнейшего постоптимизационного анализа относятся следующие.

Первая задача состоит в том, чтобы по каждому ограничению, для каждого вида ресурсов определить ценность данного вида, то есть рассчитать так называемую теневую цену (двойственную оценку) ресурса.

Теневая цена показывает влияние единичного изменения объема данного ресурса на изменение оптимума целевой функции, то есть на изменение дохода предприятия. Таким образом, теневая цена оценивает предельную эффективность данного ресурса в производственном процессе.

Рассчитанная величина теневой цены оказывается справедливой лишь в некоторых границах изменения ресурсов. Поэтому второй задачей является вычисление этих граничных значений.

Решение этих задач будет показано ниже на примере с баром отдельно для каждого вида ресурса (вида сока).

Рассмотрим последовательно используемые ресурсы. Ресурсом первого вида в нашем примере является виноградный сок.

Как мы уже знаем, при реализации оптимального плана все 108 л запасов этого сока используются полностью. Ясно, что расширение запасов этого сока не ухудшит ситуацию, не уменьшит доходов бара, а скорее всего увеличит их. Определим количественно, как изменение запасов этого сока влияет на доход.

На рис. 9 дано графическое представление изменения области допустимых планов и оптимального плана при изменении границы первого ограничения, то есть запаса виноградного сока.

83

(1 )

x2

(1)

240 B

(1 )

(3)160

G

(2)120 E

Рис. 9. Графический постоптимизационный анализ ресурса первого вида

При изменении правой части ограничения его граница будет смещаться параллельно. При увеличении запасов сока она сдвигается вправо, область допустимых планов расширяется. Оптимальный план, находясь по-прежнему на пересечении границ первого и третьего ограничений, смещается при этом по границе третьего ограничения в сторону точки F.

При некотором значении правой части первого ограничения его граница пройдет через точку F (это положение границы обозначено на рис. 9 пунктирной линией (1 )). Оптимальный план совпадает с точкой F.

Это соответствует верхней критической величине правой части.

84

При дальнейшем увеличении правой части первого ограничения его граница сдвинется дальше вправо, но область допустимых планов расширяться не будет. Ее дальнейшему расширению препятствует третье ограничение. Оптимальный план останется в точке F.

Рассмотрим теперь процесс постепенного уменьшения запасов виноградного сока. Граница первого ограничения при этом параллельно сдвигается влево, область допустимых планов сокращается. Оптимальный план, находясь по-прежнему на пересечении границ первого и третьего ограничений, смещается по границе третьего ограничения в сторону точки К.

При некотором значении правой части первого ограничения его граница пройдет через точку К, оптимальный план при этом совпадает с точкой К (это положение границы обозначено на рис. 9 пунктирной линией

(1 )).

Полученное значение правой части является его нижним критическим значением. При дальнейшем уменьшении правой части первого ограничения его граница будет дальше смещаться влево, область допустимых планов будет и дальше сокращаться. Однако ограничивать область будет уже на третье, а второе ограничение. Оптимальный план будет дальше смещаться по границе второго ограничения.

При верхнем и нижнем граничном значении правой части первого ограничения происходит качественное изменение оптимального плана. Такое изменение выражается не в количественных соотношениях, а в самой структуре ресурсного обеспечения оптимального плана (а в некоторых ситуациях - и в структуре самого плана).

В промежутке между критическими значениями реализация оптимального плана требует полных затрат всех запасов первого и третьего ресурсов - виноградного и клюквенного соков. Апельсиновый сок при этом избыточен. Выпускаются оба вида продукта.

85

После прохождения верхней критической границы, когда оптимальный план оказывается в точке F, выпускаться будет один лишь первый вид коктейля. Расходоваться полностью будет лишь один вид ресурса - клюквенный сок. В момент прохождения верхней критической границы происходит переход от одной структуры к другой. В этот момент выпуск второго коктейля уже прекращен, но на выпуск оставшейся продукции (первого коктейля) по-прежнему расходуются все запасы виноградного и клюквенного сока.

После прохождения нижней критической границы, когда оптимальный план оказывается на границе второго ограничения, расходоваться на производство будет все запасы первого и второго ресурсов - виноградного и апельсинового соков. Клюквенный сок окажется в избытке. В момент прохождения нижней критической границы происходит переход от одной ресурсной структуры к другой. В этот момент расходуются полностью все три вида соков.

Придадим теперь нашему качественному графическому анализу необходимую количественную определенность. Найдем, во-первых, численное значение теневой цены первого ресурса, и, во-вторых, вычислим верхнее и нижнее критическое значение. Для того чтобы решить эти задачи, прибавим к правой части первого ограничения переменную величину u1. Уравнение граничной прямой примет следующий вид:

0,675x1 0,450x2 108 u1 .

Величина u1 является параметром уравнения. При u1 = 0 граница занимает первоначальное положение. С ростом u1 граница сдвигается вправо. С уменьшением u1 граница сдвигается влево. В промежутке между критическими значениями оптимальный план находится на пересечении границ первого и третьего ограничений. Его координаты определяются в результате решения соответствующей системы уравнений относительно неизвестных x1, x2 (параметр u1 рассматривается как известная величина).

86

Решив эту систему, получим координаты подвижного оптимального плана

x1 140 10 3 u1 140 3,33u1 ,

x 2 30 25 9 u1 30 2,78.

Заметим, что при u1 = 0 мы получаем координаты первоначального плана М.

Подставим эти значения в целевую функцию. Получим

z12 (140 3,33u1 ) 10 (50 2,78u1 )

1980 12,22u1 .

При u1 = 0 получается прежнее значение оптимума. Коэффициент 12,22 при переменной u1 показывает, что каждая единица приращения величины u1 увеличивает значение целевой функции на 12,22 единицы.

Тем самым каждый литр дополнительного запаса виноградного сока увеличивает доход бара на 12,22 руб. Соответственно, каждый литр снижения запаса уменьшает доход бара на ту же величину 12,22 руб.

Величина 12,22 и является теневой ценой (двойственной оценкой) ресурса. Она не связана с рыночной ценой этого ресурса. Она оценивает предельную полезность, предельную эффективность этого ресурса в рамках данной задачи, в рамках данной производственной ситуации.

Эта оценка численно определяет ту величину дополнительного дохода, который можно получить путем вовлечения в производственный процесс дополнительной единицы ресурса - в данном случае виноградного сока. Объемы остальных ресурсов при этом предполагаются неизменными.

87

Для лица, принимающего решения по ресурсному обеспечению деятельности предприятия, теневая цена дает исключительно важную информацию, является своеобразной точкой отсчета. При решении вопроса о приобретении дополнительных объемов ресурса (виноградного сока) следует сравнить затраты на приобретение дополнительной единицы ресурса (в простейшем случае - это просто рыночная цена единицы ресурса) с теневой ценой. Если цена покупки меньше теневой цены, то затраты на приобретение ресурса окупятся дополнительным доходом от его использования.

Для бара теневой ценой виноградного сока является 12,22 руб. Таким образом, например, по цене 12 руб. за литр бару выгодно приобретать дополнительные запасы этого сока, а по цене 12,25 руб. за литр - уже не выгодно. Точно так же, если бар имеет возможность продать часть запаса виноградного сока, то это будет выгодно только при продаже по цене, превышающей теневую цену, например, при цене 12,25 руб. за литр. Сама теневая цена является точкой равновесия. Если предприятие приобретает или продает ресурс по этой цене, то дополнительный доход будет равен 0 (при том использовании ресурса, как это описано в модели).

Полученная величина теневой цены верна не всегда, а только при сохраняющейся структуре ресурсного обеспечения плана, то есть только в промежутке между нижним и верхним критическим значением правой части ограничения. Вычислим эти значения.

При нижнем критическом значении граница первого ограничения проходит через точку К. Подставив координаты точки (80; 80) в уравнение, задающее подвижную границу, получим

0,675 80 0,450 80 108 u1 .

Отсюда получаем u1 = -18. Это нижняя критическая граница параметра u1:

u1н = - 18.

88

При верхнем критическом значении подвижная граница проходит через точку F. Подставляем координаты этой точки (176; 0) в левую часть уравнения

0,675 176 0,450 0 108 u1.

Получаем u1 = 10,8. Это верхняя критическая граница параметра u1, u1в = 10,8.

Таким образом, при изменении параметра между критическими границами структура ресурсного обеспечения оптимального плана не изменяется и полученная теневая цена является верной. Вне этих границ полученное значение теневой цены недействительно. Там с помощью аналогичных рассуждений может быть рассчитано свое значение теневой цены.

Приведенные выше рассуждения о выгодности или невыгодности покупки или продажи виноградного сока по той или иной цене верны только в том случае, если покупается не более 10,8 л сока и продается не более 18 л.

Критическим значением параметрам соответствуют критические значения правой части ограничения b1:

b1н b1 u1н 108 18 90 (л),

b1в b1 u1в 108 10,8 111,8 (л).

Рассуждения о двойственной оценке, равной 12,22, верно в том случае, когда запас виноградного сока изменяется в пределах от 90 л до

118,8 л.

Проанализируем теперь чувствительность оптимального плана к изменению объема ресурса второго вида.

Ресурсом второго вида в нашем примере является апельсиновый сок. При реализации оптимального плана из 48 л запасов этого сока используется лишь 40 л. Этот ресурс избыточен. Изменение его запасов в

89

Увеличение объема запаса апельсинового сока расширяет область допустимых планов. Но это расширение происходит за пределами точки К, в стороне от оптимального плана М. Вблизи оптимального плана изменения области не происходит. Это означает, что точка М при таких изменениях сохраняет свою оптимальность. Такая ситуация будет сохраняться при любом увеличении запасов апельсинового сока. Верхнее критическое значение правой части второго ограничения отсутствует или,

иными словами, оно равно + .

90