Chernov_-_Vvedenie_v_LP

Во-вторых, оптимальный планом наверняка окажется одна из вершин пятиугольника. Если оптимальный план у нашей задачи единствен, то этим планом будет одна вершина. Если же он не единствен, то этим оптимальным планом окажутся две соседние вершины, а вместе с ними и все точки стороны пятиугольника.

Обратимся к целевой функции. Ее градиент есть вектор (12; 10). Для решения задачи следует изобразить этот вектор в виде стрелки с началом в точке (0; 0) и концом в точке (12; 10).

Такая стрелка является довольно короткой и плохо различимой на чертеже. Вспомним, однако, что длина этой стрелки не играет никакой роли при решении задачи. Важно лишь ее направление. Если обе координаты точки (12; 10) умножить или разделить на одно и то же положительное число, то изменится лишь длина стрелки, но не ее направление. Поэтому на результате решения задачи это не скажется.

Умножим обе координаты на 20. Получим точку (240; 200). В нее мы и проведем стрелку из начала координат (рис.7).

Все линии уровня целевой функции параллельны друг другу и перпендикулярны градиенту. Выберем любую из таких линий, пересекающих область допустимых планов. Например, возьмем линию, проходящую через начало координат.

Мы решаем задачу на максимум. Следовательно, необходимо параллельно смещать линию уровня в направлении градиента до крайнего положения. В своем крайнем положении линия уровня проходит через точку М. На рис. 7 эта линия показана пунктиром.

Таким образом, точка М является оптимальным планом задачи. Это единственная точка, принадлежащая одновременно области допустимых планов и линии уровня в ее крайнем положении. Следовательно, наша задача обладает единственным оптимальным планом.

Найдем координаты оптимального плана. Приближенно их можно определить по чертежу. Для точного расчета необходимо решить

61

соответствующую систему уравнений. Точка М лежит на границе первого и третьего ограничений. Составляем систему уравнений:

Решив эту систему, получаем компоненты оптимального плана:

x1* 140 и x*2 30 .

Таким образом, оптимальный план X*max равен:

X*max (x1* , x*2 ) (140; 30) .

Он предписывает выпустить 140 л коктейля «Утро» и 30 л коктейля «Вечер».

Для определения оптимума следует подставить компоненты оптимального плана в целевую функцию задачи. Оптимум Z*max определяется равенством:

Z*max 12 140 10 30 1980 .

Таким образом, реализация выпущенной продукции даст выручку в размере 1980 руб.

Теперь следует обратиться к экономическому содержанию задачи и проанализировать полученный результат. Мы проведем такой анализ в следующей главе. Однако прежде чем это сделать, рассмотрим для полноты картины задачу, когда при той же системе ограничений и той же целевой функции требуется найти не максимальное, а минимальное ее значение.

В этой ситуации все рассуждения, связанные с построением области допустимых планов и градиента полностью сохраняются. Однако для нахождения оптимального плана следует теперь смещать линию уровня до крайнего положения в направлении, противоположном градиенту. Оптимальным планам для задачи на минимум окажется точка О - начало координат. Такой план предписывает производить коктейли в

62

нулевых объемах, то есть не производить коктейли вообще. Оптимум при этом будет равен 0.

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1.Как построить множество решений неравенства на плоскости? Как изобразить область допустимых планов задачи?

2.Напишите свою систему неравенств, которая определяет пустую область. Напишите систему, определяющую неограниченную область. Напишите систему, определяющую ограниченную область. Напишите такую систему неравенств, для которой одно из них является избыточным (его устранение из системы не изменяет множества решений системы). Каков геометрический смысл такого неравенства? Напишите систему, множество решений которой состоит из одной-единственной точки. Напишите систему, определяющую многоугольник с параллельными парами сторон.

3. На координатной плоскости даны три точки: А (1; 4), В (2; -6), С (8; 0). Пусть точка D есть середина отрезка АВ. Задайте точку D в виде взвешенной суммы точек А и В. Чему равны весовые коэффициенты h1, h2? Каковы координаты точки D?

Пусть точка H делит отрезок АС в отношении 1 : 9. Задайте точку Н в виде взвешенной суммы точек А и С. Чему равны весовые коэффициенты? Каковы координаты точки Н?

Пусть точка Е есть середина отрезка НС, точка К - середина отрезка АД, а точка М - середина отрезка ВС. Задайте эти точки в виде взвешенных сумм и определите их координаты.

4. Пусть Р и Q - два выпуклых множества. Докажите, что их пересечение R,

R = P Q

также является выпуклым множеством.

Приведите сами примеры двух таких выпуклых множеств Р и Q, объединение которых R,

63

R = P Q

невыпукло. Докажите, что оно невыпукло. Укажите для этого две конкретные точки А и В, принадлежащие объединению этих множеств, и такую конкретную точку С отрезка АВ, которая не принадлежит объединению.

Таким образом, пересечение выпуклых множеств всегда выпукло, а объединение - не всегда.

5.Исходя из того, что полуплоскость (множество решений линейного неравенства) есть выпуклое множество, и из результатов предыдущего упражнения, докажите, что область допустимых планов задачи линейного программирования является выпуклым множеством.

6.Приведите такие конкретные примеры систем неравенств и целевых функций, чтобы:

а) задача на максимум целевой функции имела бы решение, а задача на минимум - нет;

б) задача на минимум имела бы решение, а задача на максимум -

нет;

в) обе задачи, и на максимум, и на минимум, не имели бы решения, но область допустимых планов была бы непуста;

г) каждая из задач, и на максимум, и на минимум, имела бы решение.

7.Приведите такие конкретные примеры систем неравенств и целевых функций, чтобы в пунктах а, б, г предыдущего упражнения задача имела бы неединственное решение. Как должны быть при этом согласованы градиенты, линия уровня целевой функции и граничная прямая одного из ограничений задачи?

8.Приведите конкретные примеры системы ограничений и целевой функции, для которых оптимальные планы при решении задачи на максимум и на минимум совпадают. Приведите примеры для вариантов, когда такой общий оптимальный план

а) единственный

64

б) неединственный.

Что можно сказать об оптимумах? Сохраняется ли это свойство задачи при изменении целевой функции?

9. Решите следующие задачи линейного программирования на максимум и минимум целевой функции

а)

max, min 9x1 5x 2

3x1 x 2 12

2x1 5x 2 28

2x1 3x 2 20

б)

max, min 4x1 6x 2

5x1 4x 2 40

x1 3x 2 3

4x1 2x 2 1

x1 0, x 2 0

в)

max, min x1 x 2

2x1 x 2 4

x1 3x 2 6

4x1 4x 2 8

x1 0, x 2 0

65

г)

max, min 3x1 2x 2

6x1 4x 2 12

9x1 6x 2 18

x1 0, x 2 0

3.Анализ оптимального плана задачи линейного

программирования

3.1. Задачи постоптимизационного анализа

После математического решения задачи линейного программирования, получения ее оптимального плана и оптимума, необходимо проанализировать полученные результаты. Такой анализ, проводимый после оптимизации, называют постоптимизационным.

Общая задача такого анализа - определить устойчивость полученного решения к тому или иному изменению ситуации, к изменению условий задачи, а также оценить чувствительность решения к изменению конкретных численных значений тех или иных параметров ситуации.

Обычно результаты анализа охватывают несколько разделов. Важность тех или иных разделов зависит от конкретной экономической ситуации, описываемой в задаче.

Во-первых, необходимо выявить, на границах каких ограничений находится оптимальная точка. Эти ограничения выполняются как равенства (активные, или связанные ограничения), остальные - как строгие неравенства (неактивные, или несвязанные ограничения). Это важная информация.

66

Для задачи производственного планирования (как в нашем примере с баром) ограничения соответствуют ресурсам. Равенство левой и правой частей ограничения, его активность означает полное использование данного ресурса. Неравенство - неполное использование ресурса.

Знание того, какие ресурсы как используются, определяет возможность маневра. Можно, например, продать излишки ресурсов для получения дополнительного дохода. Можно, наоборот, докупить дополнительные объемы тех ресурсов, которые используются полностью. Эти новые объемы вместе с оставшимися излишками других ресурсов позволят выпустить дополнительную продукцию и получить дополнительный доход.

Во-вторых, весьма полезно кроме выявленной оптимальной вершины области допустимых планов рассмотреть и другие, близкие к ней вершины. Это даст информацию о том, насколько оптимальная вершина лучше окружающих, насколько доход предприятия при реализации оптимального плана больше дохода при реализации других планов, как обстоят дела с ресурсным обеспечением других планов. Нужно быть готовым при изменении ситуации перейти к другому плану, который в новой ситуации становится допустимым и более выгодным. Поэтому важно заранее иметь информацию об альтернативных возможностях.

В-третьих, изменение ситуации часто бывает связано с изменением цен на продукцию (коэффициентов при переменных в целевой функции). В рассматриваемой модели цены считаются неизменными. При небольших изменениях цен оптимальный план обычно сохраняет свою оптимальность. При существенных изменениях цен оптимальным становится другой план. Важно разобраться в этом, рассчитать критические ценовые границы. Такое изучение воздействия ценовых изменений на оптимальный план и оптимум относят к ценовому постоптимизационному анализу.

67

В-четвертых, изменение ситуации бывает связано с изменениями ресурсных условий. В модели объемы ресурсов предполагаются заданными. Важно проанализировать вопрос о том, как изменение ресурсной обеспеченности сказывается на оптимальном плане, при каких ресурсных изменениях следует переходить к другому плану, какова ценность тех или иных ресурсов в рамках поставленной задачи. Эти вопросы относят к ресурсному постоптимизационному анализу.

Мы опишем способ проведения такого анализа по всем перечисленным пунктам, опирающийся на графическое представление задачи линейного программирования с двумя переменными. Это позволит придать рассуждениям необходимую наглядность.

Рассмотрим пример с баром. Выше было изложено содержание этой задачи, предложена ее математическая модель в виде задачи линейного программирования, дано ее графическое представление, построена область допустимых планов, получены ее оптимальный план и оптимум.

3.2.Ресурсное обеспечение оптимального плана

Впроцессе решения задачи мы могли не думать о ее экономической стороне. Теперь, получив решение, вернемся к ее содержанию. Напомним, что речь идет о баре, который из трех видов соков (виноградный, апельсиновый, клюквенный) выпускает два вида коктейлей ("Утро" и "Вечер"). Переменные x1 и x2 соответствуют объемам выпуска коктейлей, целевая функция - доходу бара, каждое из ограничений - расходу запасов сока соответствующего вида (ограничение

[1]- по виноградному соку, [2] - по апельсиновому, [3] - по клюквенному). Найдя оптимальный план, точку М, мы получили, что наилучшим

планом производства является выпуск 140 л коктейля "Утро" и 30 л коктейля "Вечер". Для бара максимально возможным будет доход, равный

1980 руб.

68

Оптимальный план находится на пересечении границ первого и третьего ограничений. Первое и третье ограничения являются активными. Это означает, что первый и третий виды ресурсов (виноградный и клюквенный соки) будут использованы полностью, а оставшиеся виды ресурсов (апельсиновый сок) окажутся в избытке. Непосредственными вычислениями можно убедиться, что расход виноградного сока равен:

0,675 140 + 0,450 30 = 94,5 + 13,5 = 108 (л),

а расход клюквенного сока равен:

0,125 140 + 0,150 30 = 17,5 + 4,5 = 22 (л).

Запасы этих соков используются полностью. В то же время по апельсиновому соку расход равен:

0,200 140 +0,400 30 = 28 + 12 = 40 (л).

Таким образом, 48 – 40 = 8 л апельсинового сока остаются неиспользованными.

Модель дает возможность определить, какой объем каждого ресурса расходуется в оптимальном плане на производство любого вида продукции. Проведенные выше расчеты показывают, что на производство коктейля "Утро" расходуется 94,5 л виноградного, 17,5 л клюквенного и 28 л апельсинового сока, так что всего получается 140 л коктейля.

На коктейль "Вечер" расходуется 13,5 л виноградного, 4,5 л клюквенного и 12 л апельсинового сока (что дает 30 л "Вечера").

3.3. Альтернативные варианты плана

Можно рассмотреть другой вариант производственного плана, соответствующий вершине К многоугольника допустимых планов. Точка К лежит на пересечении граничных прямых второго и третьего ограничений. При реализации этого плана апельсиновый и клюквенный соки, соответствующие этим ограничениям, будут использованы полностью, а виноградный останется в избытке. Для определения координат точки К

69

следует решить систему уравнений, построенную по второму и третьему ограничению:

Решением этой системы является

x1 = 80, x2 = 80.

В соответствии с этим планом бар должен выпускать поровну, по 80 л коктейля каждого вида. Доход бара в этом случае будет равен:

12 80 + 10 80 = 1760 (руб.).

Он на 220 руб. меньше полученного ранее оптимума. План, соответствующий точке К, естественно, не является оптимальным.

Точка L на рис.7 определяемая пересечением границ первого и второго ограничений, имеет координаты

x1 = 120, x2 = 60.

Значение целевой функции на этом плане равно

12 120 + 10 60 = 2040 (руб.).

Это больше оптимума. Такая ситуация на множестве допустимых планов невозможна. И действительно, точка L находится за пределами области допустимых планов. Она не удовлетворяет третьему ограничению, находится по другую сторону его границы. Это означает, что для реализации плана L не хватит третьего ресурса, клюквенного сока.

Для производства коктейлей в соответствии с этим планом необходимо

0,125 120 + 0,150 60 = 15 + 9 = 24 (л)

клюквенного сока, в то время как в наличии имеется только 22 л этого ресурса.

70