Chernov_-_Vvedenie_v_LP

Неравенства, связанные с пунктами производства и потребления, заменены здесь равенствами. Модель транспортной задачи с ограничениями-неравенствами называется открытой моделью. Модель с ограничениями-равенствами носит название закрытой модели.

Перейдем от рассмотренного примера к общему случаю.

1.3.2.Общий вид транспортной задачи

Вобщем случае имеется m пунктов производства и n пунктов потребления. Пункты производства пронумеруем числами от 1 до m. Номер пункта производства будем обозначать буквой i (таким образом, 1

i m). Пункты потребления пронумеруем числами от 1 до n. Номер пункта потребления будем обозначать буквой j (таким образом, 1 j n).

Рассмотрим некоторый период времени (например, месяц). Пусть ai - объем производства за период времени в i-м пункте производства, bi - количество продукции, требуемое за период времени в j-м пункте потребления. Пусть cij - стоимость перевозки единицы груза из i-го пункта производства в j-й пункт потребления.

31

Требуется определить план перевозок, удовлетворяющий условиям по пунктам производства и потребления и соответствующий наименьшим затратам на перевозки.

Для построения математической модели следует ввести переменные. Для каждой пары поставщик-потребитель, то есть для каждой пары (i,j) введем переменную хij - объем перевозки от пункта производства i к пункту потребления j.

Математическая модель транспортной задачи записывается следующим образом

Целевая функция модели представляет собой общую стоимость всех перевозок. Она записана в виде двойной суммы. Внутренняя сумма соответствует пунктам производства, внешняя - пунктам потребления. Разумеется, эти знаки суммирования в целевой функции можно поменять местами. От перегруппировки слагаемых сумма не изменяется.

Вмодели указано, что целевую функцию следует минимизировать. Таким образом, модель предписывает искать план перевозок наименьшей общей стоимости.

Всистеме ограничений представлены три группы неравенств. В первой группе m неравенств, соответствующих пунктам производства. Каждое неравенство утверждает, что из соответствующего пункта не может быть вывезено больше, чем в нем имеется. Во второй группе n неравенств, соответствующих пунктам потребления. Каждое из них

32

требует, чтобы в соответствующий пункт было привезено не меньше, чем требуется. В третьей группе m n неравенств, обеспечивающих неотрицательность объема перевозок.

Представленная модель транспортной задачи с ограниченияминеравенствами называется открытой моделью. Задача разрешима в том и только в том случае, когда общий объем груза у поставщиков не меньше суммарной потребности потребителей, то есть когда выполнено неравенство:

Если выполнено обратное неравенство, то есть если

то задача неразрешима, для нее не существует не только оптимального, но даже и допустимого плана.

Если общий объем груза у поставщиков в точности равен общей потребности потребителей, то есть если имеет место равенство:

то указанная выше открытая модель эквивалентна более простой закрытой модели, в которой основные неравенства заменены равенствами. Закрытая модель имеет следующий вид:

33

1.4.Задача о диете

1.4.1.Общий вид задачи о диете

Рассмотрим теперь другую задачу, относящуюся к другой области экономических исследований, не к производству, а к потреблению. Это - так называемая задача о диете, задача о составлении наиболее экономного рациона, наиболее экономной корзины продуктов питания.

Человек в течение месяца может потреблять любые из n видов продуктов питания (хлеб, молоко, рыбу, яйца и т.д.). Пронумеруем все эти виды продуктов числами от 1 до n. Пусть j - номер продукта питания. 1 j

n. Продукты могут измеряться в разных единицах (килограммах, литрах,

штуках). Обозначим посредством cj цену единицы j-го продукта питания. Каждый продукт содержит различные полезные вещества, полезные

характеристики. Это - необходимые человеку белки, жиры, углеводы, различные микроэлементы, разнообразные витамины, калории. Пусть общее число видов таких полезных составляющих равно m. Пронумеруем их числами от 1 до m, порядковый номер такой полезной составляющей будем обозначать посредством i, так что 1 i m. Разные полезные составляющие могут измеряться в различных единицах. Посредством bi обозначим то количество единиц i-й составляющей, которое человеку необходимо потребить в течение месяца.

Обозначим посредством aij то количество единиц i-го полезного вещества (например, витамина А), которое содержится в одной единице j- го продукта питания (например, в одном килограмме мяса).

Задача состоит в том, чтобы рассчитать наиболее экономную диету, то есть продовольственный рацион наименьшей стоимости, содержащий, тем не менее, все необходимые человеку полезные вещества в нужных объемах. Построим математическую модель для решения этой задачи.

Сначала следует ввести переменные. Нам необходимо определить рацион, то есть установить, сколько какого продукта питания необходимо приобретать человеку для потребления. В соответствии с этим и введем

34

переменные. Обозначим посредством xj; искомое количество единиц j-го

В верхней строке модели указана минимизация целевой функции. Сама целевая функция представляет собой сумму произведений цен на объем покупаемых для потребления продуктов питания. Таким образом цель, формализованная в целевой функции - минимизировать суммарные затраты на приобретение продуктов питания.

Система ограничений представляет собой систему неравенств. Неравенства указывают, что общее количество полезных веществ, содержащихся во всех потребляемых объемах продуктов питания, должны быть не меньше заданной нижней границы.

Рассмотрим, например, первое неравенство системы ограничений. Левая часть неравенства представляет собой сумму произведений. В этих произведениях первый сомножитель имеет один и тот же первый индекс i = 1, но различные вторые индексы j. Следовательно, во всех этих случаях речь идет об одном и том же первом полезном веществе, но о разных продуктах питания. Величина aij равна количеству первого полезного вещества в одной единице j-го продукта питания. После умножения этой величины на xj получим количество первого полезного вещества,

35

содержащегося во всем потребляемом объеме j-го продукта питания. Суммирование по всем продуктам питания дает количество первого полезного вещества, содержащегося во всем потребляемом рационе. Это левая часть первого неравенства. Требуется, чтобы она была больше или равна правой части, в которой указан наименьший допустимый объем потребления первого полезного вещества. Первое неравенство требует, таким образом, чтобы рацион обеспечивал потребление первого полезного вещества не ниже некоторой границы.

Аналогичный смысл имеют остальные неравенства системы ограничений. В последней строке системы указано, что потребляемые объемы продуктов питания должны быть неотрицательны. Допускается, что они могут быть равны 0, то есть некоторые из потенциально возможных продуктов питания в рацион могут не войти. Но отрицательными они быть не могут.

Как и для задачи производственного планирования, построение математической для задачи о диете означает переход к решению математической задачи. Решение математической задачи сводится к поиску минимума некоторого выражения (целевой функции) при условии, что переменные удовлетворяют системе неравенств (системе ограничений). При решении математической задачи используются чисто математические методы. Можно отвлечься при этом от содержательного смысла входящих в нее символов, от того, что некоторые из них - это объемы продуктов питания, другие - объемы полезных веществ, третьи - цены, что перед нами задача о наиболее экономном рационе. Именно это обстоятельство и позволяет использовать при ее решении универсальные и мощные математические средства.

Две рассмотренные нами экономические задачи - задача производственного планирования и задача о диете, существенно отличаются друг от друга по содержанию. В одной речь идет о производстве, в другой - о потреблении. Однако их математические модели весьма похожи друг на друга. Общей является сама структура

36

модели: в обоих случаях имеется целевая функция, экстремальное значение которой требуется найти, и система ограничений в виде системы неравенств. Целевая функция и выражения, стоящие в левых частях неравенств, в обоих случаях являются линейными функциями от многих переменных. Различия между моделями состоят в том, что в них требуется отыскать разные экстремумы целевой функции: в одном случае - максимум, а в другом - минимум. Кроме того, знаки неравенств в системе ограничений повернуты в разные стороны. Однако, эти различия не являются принципиальными. Любой из этих моделей можно придать внешний вид другой модели с помощью простой операции - умножения на (-1). Математические методы, применяемые для решения этих задач, оказываются одинаковыми.

Терминология, используемая в связи с этими моделями, тоже одинакова. Вектор значений переменных (x1, x2, ... xn) называется планом задачи. Те планы, которые удовлетворяют системе ограничений, называются допустимыми планами. Тот из допустимых планов, на котором целевая функция достигает своего минимального значения на множестве всех допустимых планов, называется оптимальным планом. Само это минимальное значение целевой функции носит название оптимума задачи.

1.4.2.Варианты задачи о диете

Мы рассмотрели простой вид задачи о диете. Возможны и другие, более сложные его виды. Так, например, кроме полезных веществ в продуктах питания могут содержаться и вредные вещества, потребление которых следует ограничить. Ограничения, связанные с такими вредными веществами, без труда могут быть введены в модель. Для этого следует для каждого такого вещества задать предельно допустимый объем его потребления bk. Затем в систему ограничений для каждого вредного вещества следует ввести новое неравенство, совершенно аналогичное предыдущим (левая часть которого указывает содержание данного

37

вредного вещества во всех продуктах питания вместе взятых), и которое заканчивается знаком bk. Так же следует поступить и для тех веществ,

которые в небольших количествах являются полезными, но чрезмерное потребление которых приносит вред. Для таких веществ следует ввести в

систему два неравенства, одно из которых требует обеспечить потребление этого вещества в объеме, не ниже заданной нижней границы, а другое - в объеме, не выше заданной верхней границы.

Если некоторое вещество требуется потреблять в строго заданном количестве, то для него соответствующее ограничение будет не неравенством, а равенством.

Таким образом, в общем случае в математической модели задачи о диете могут присутствовать как неравенства со знаком , так и неравенства со знаком , а также равенства со знаком =.

Те способы решения задач, с которыми мы познакомимся ниже, будут универсальными, одинаково пригодными для решения различных задач линейного программирования: и задач, возникающих из производственной ситуации, и задач, происходящих из других источников. Задачи, совершенно различные по экономической сути, могут оказаться весьма близкими по своим математическим моделям.

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1.Опишите содержание задачи производственного планирования.

2.Сформулируйте математическую модель задачи производственного планирования. Объясните смысл входящих в нее обозначений, целевой функции, ограничений.

3.Что такое план задачи? Какие планы называются допустимыми, а какие - недопустимыми? Какой план называется оптимальным? Что такое оптимум задачи? В чем различие между оптимальным планом и оптимумом?

38

4.Приведите примеры (три конкретных примера) различных допустимых планов и три примера недопустимых планов для приведенного выше примера задачи о баре, выпускающем коктейли.

Является ли допустимым план (0; 0)? Каким объемам выпуска коктейлей он соответствует? Какую выручку он приносит бару?

Предположим, что половина запасов каждого сока в баре оказалась с просроченной датой использования и непригодной к употреблению. Какие из Ваших допустимых планов сохранили свою допустимость? Остались ли недопустимые планы недопустимыми?

5.Предположим, что бар обязался продавать 10 литров коктейля "Утро" и 15 литров коктейля "Вечер" соседнему детскому саду. Как ввести

вматематическую модель эти дополнительные условия? Будет ли теперь план (0;0) допустимым?

6.Предположим, что у бара появилась возможность увеличить запасы апельсинового сока, покупая его по цене 8 руб. за литр. Бар стремится максимизировать прибыль, разность между выручкой от продажи коктейлей и затратами на покупку сока. Купленный сок вместе с имеющими запасами можно использовать для приготовления коктейлей. Сформируйте новую модель, учитывающую изменившиеся условиями.

7.В условиях предыдущего пункта предположим, что у бара появилась дополнительная возможность продавать не только коктейли, но и клюквенный сок по цене 11 руб. за литр. Как изменится математическая модель в связи с этой новой ситуацией?

8.Кондитерская фабрика производит три вида карамели: «Сибирскую», «Праздничную» и «Студенческую». Для производства карамели используются три вида сырья: сахар, патока и фруктовое пюре. Для производства 1 тонны «Сибирской» карамели требуется 500 кг сахара, 300кг патоки и 200 кг фруктового пюре. Чтобы изготовить 1 тонну «Праздничной» карамели, необходимо 700 кг сахара, 200 кг патоки и 100 кг фруктового пюре. Для приготовления 1 тонны «Студенческой» карамели требуется 600 кг сахара, 100 кг патоки и 300 кг фруктового

39

пюре. На фабрике имеется 1000 тонн сахара, 1200 тонн патоки и 800 тонн фруктового пюре. Прибыль от реализации одной тонны карамели составляет 20 руб. для «Сибирской», 16 руб. для «Праздничной» и 22,5 руб. - для «Студенческой» карамели.

Требуется построить математическую модель для определения плана производства карамели, обеспечивающую фабрике прибыль от ее реализации.

9. Предположим, что кондитерская фабрика может выпускать еще один вид карамели – «Петербургскую». Для производства 1 тонны «Петербургской» карамели требуется 400 кг сахара, 300 кг патоки и 300 кг фруктового пюре. Прибыль от реализации тонны «Петербургской» карамели составляет 18,5 тыс. руб. Как изменится математическая модель в этой новой ситуации?

10.Предположим, что кондитерская фабрика имеет возможность покупать патоку по цене 2,8 тыс. руб. за тонну и продавать сахар по цене 2,5 тыс. руб. за тонну. Внесите соответствующие изменения в математическую модель.

11.Приведите конкретные примеры допустимых и недопустимых планов для приведенного выше примера транспортной задачи.

12.Строительный песок добывается в двух карьерах и доставляется на пять строительных площадок. Данные по производительностям карьеров (ai - тонны в день) и потребностям строительных площадок (bj - тонны в день), а также по стоимости перевозки одной тонны песка от карьера к площадке (cij - тыс. руб.) приведены в таблице 3. Требуется построить открытую и закрытую модели транспортной задачи.

Приведите конкретные примеры допустимых и недопустимых планов. Будут ли они отличаться для открытой и закрытой модели?

40