Chernov_-_Vvedenie_v_LP

Для получения новой третьей строки необходимо из нее вычесть преобразованную разрешающую, умноженную предварительно на 1/8.

Получим:

0 x1 151 x 2 275 x 3 x 5 2 .

Для получения новой критериальной строки из нее следует вычесть преобразованную разрешающую, умноженную предварительно на (-12). Получим

z 0 x1 2x 2 1609 x 3 1920 .

Запишем теперь подряд всю преобразованную систему ограничений

Напомним, что метод Гаусса осуществляет эквивалентное преобразование системы уравнений, так что мы получим лишь новую форму записи все той же системы ограничений.

В новой записи переменные x1, x4, x5 являются базисными, x2 и x3 - небазисными. В наборе базисных переменных произошло изменение: переменная x3 вышла из набора, а переменная x1 вошла вместо нее в набор.

Преобразованной системе ограничений соответствует новый текущий опорный план X1:

X1 = (160; 0; 0; 16; 2).

111

Этому плану соответствует новое значение целевой функции

Z1 = 1920.

Если обратиться к графикам на рис.7, то план X1 соответствует вершине А. При переходе от X0 к X1 мы перешли от вершины О (начала координат) к соседней вершине А. Как мы уже выяснили при графическом анализе, этой вершине соответствует значение целевой функции, равное 1920, то есть, равное Z1. Значения переменных x1, x4, x5 в плане X1 соответствуют остаткам ресурсов для допустимого плана А (см. табл. 6).

План X1 не является оптимальным, так как в последней записи системы ограничений в критериальной строке присутствует отрицательный коэффициент при переменной x2. Преобразование системы ограничений следует продолжить.

Столбец коэффициентов при переменной x2 называем теперь разрешающим столбцом. Для каждого из ограничений, кроме критериального, определяем отношение правой части к элементу разрешающего столбца и находим среди этих отношений наименьшее:

160 : 2/3 = 240; 16 : 4/15 = 60; 2 :1/15 = 30.

Наименьшим является третье отношение. Следовательно, третья строка становится разрешающей строкой, а число 1/15 - разрешающим элементом.

Преобразуем последнюю систему ограничений методом Гаусса так, чтобы на месте разрешающего элемента возникла 1, а на месте всех остальных элементов разрешающего столбца появилась 0. Начинаем преобразование с третьей (разрешающей) строки. Делим ее на 1/15.

Затем поочередно из каждой строки вычитаем преобразованную разрешающую, умноженную предварительно на соответствующий элемент разрешающего столбца. В результате преобразований получим

112

X2 = (140; 30; 0; 8; 0).

Соответствующим значением целевой функции является величина

X2 = 1980.

Является ли полученный план оптимальным? Да, потому что в критериальном ограничении нет отрицательных коэффициентов при переменных xj. Дальнейшее увеличение z должно было бы компенсироваться уменьшением небазисных переменных x3 или x5, а они в текущем опорном плане и так равны 0. Полученное значение z является максимально возможным.

Таким образом задача решена. Оптимальным планом является последний из текущих опорных планов X2. Оптимальный план и оптимум принято помечать звездочкой. Запишем ответ задачи

X max* = (140; 30; 0; 8; 0),

Z max* = 1980.

113

Полученный оптимальный план на рис.7 соответствует оптимальной точке М. Переход от плана X1 к плану X2 соответствует на рис.7 переходу от вершины А к соседней вершине М.

При сопоставлении ответов, полученных графическим методом и симплекс-методом, мы видим, что там оптимальный план содержал две компоненты, а здесь содержит пять. Дополнительные три появились в результате приведения задачи к канонической форме. Их можно устранить, и тогда мы получим ответ в первоначальной форме. Однако лучше этого не делать. Они несут важную информацию. Дополнительные переменные - это неиспользованные объемы ресурсов. Таким образом, решив задачу симплекс-методом, мы получаем не только сам оптимальный план, но и информацию о ресурсной обеспеченности этого плана.

Далее, рассмотрим критериальную строку в последней записи системы ограничений. Коэффициенты при дополнительных переменных x3, x4, x5 в этой строке равны соответственно 110/9; 0; 30.

Эти числа суть теневые цены ресурсов. Решив задачу симплексметодом, мы автоматически получаем полезные дополнительные сведения для постоптимизационного анализа.

Мы подробно рассмотрели последовательность рассуждений и преобразований, осуществляемых по ходу реализации процедуры симплекс-метода. Отметим некоторые детали, отсутствовавшие в нашем примере.

При поиске разрешающего элемента мы определяем наименьшее из отношений свободного члена ограничения к элементу разрешающего столбца. В нашем примере в разрешающем столбце все числа были положительными. Однако в других задачах могут встретиться отрицательные и нулевые члены разрешающего столбца. Такие неположительные коэффициенты при переменной не создают ограничений на ее рост. Поэтому отношения следует вычислять только

114

для тех случаев, когда элемент разрешающего столбца (знаменатель отношения) положителен. Лишь из таких ограничений следует выбирать наименьшее при определении разрешающего элемента.

Если в разрешающем столбце нет вообще положительных чисел, то разрешающий элемент не может быть определен. В такой ситуации ограничения на рост переменной отсутствуют, целевая функция неограничена, задача решения не имеет.

Мы рассмотрели симплекс-метод в виде преобразования системы ограничений. Однако обычно его используют в форме преобразования специальных таблиц (так называемых симплексных таблиц).

В левой части такой таблицы (табл.9) имеются три столбца. Столбец "№" содержит номера строк таблицы. Столбец "Xб" содержит список базисных переменных в соответствии со строками. Столбец "Сб" содержит список коэффициентов, с которыми базисные переменные входят в целевую функцию.

Правая часть таблицы начинается со столбца "В". В нем записаны по порядку свободные члены ограничений.

Каждый из последующих столбцов соответствует своей переменной. Элементами столбца являются коэффициенты, с которыми данная переменная входит в ограничения задачи. Сверху над обозначением переменной указывается величина соответствующего коэффициента в целевой функции. Переменная z в таблице не участвует.

Строки таблицы соответствуют ограничениям задачи. Критериальная строка имеет номер m+1. Приведенные нами преобразования системы ограничений методом Гаусса сводятся к преобразованию таблиц этим же методом. Последовательно возникающие системы ограничений соответствуют последовательным таблицам. При этом можно использовать единый верхний заголовок, отделяя друг от друга последовательные таблицы двойной чертой.

Такая табличная форма решения задачи приведена для нашего примера в таблице 9. Эта таблица состоит из трех последовательных

115

(сверху вниз) симплексных таблиц, соответствующих трем последовательным записям системы ограничений. Отмечен разрешающий элемент, играющий ключевую роль в процессе преобразований.

Таблица 9

4.3. Симплекс-метод для общего случая

Перейдем теперь к общему случаю решения задачи линейного программирования симплекс-методом. Первое, что следует сделать - это привести задачу к канонической форме.

Далее нужно проверить, что все правые части ограничений неотрицательны. Если это не так, то обе части соответствующих равенств следует умножить на (-1). Затем следует проверить наличие в записи задачи базисного набора переменных. Если такой набор присутствует, то по записи задачи нужно заполнить симплексную таблицу. Если базисный

116

набор отсутствует, то следует перейти к вспомогательной задаче с искусственным набором базисных переменных и по записи этой вспомогательной задачи заполнить симплексную таблицу.

4.3.1.Строение симплексной таблицы

Пусть задача после всех необходимых преобразований имеет вид

max(c1 x1 c2 x 2 cn x n )

Симплексная таблица для такой задачи - это таблица, заполненная следующим образом (табл.10).

Строки в этой таблице соответствуют ограничениям задачи, последняя строка - критериальному ограничению. В столбце "№" указан порядковый номер строки, в столбце "Хб" - базисные переменные, по одной для каждой строки. В столбце "Сб" представлены коэффициенты, с которыми базисные переменные входят в целевую функцию. Дальнейшая

117

часть таблицы, кроме критериальной строки, заполнена той числовой информацией, которая непосредственно представлена в математической модели. А именно, в столбце "В" указаны свободные члены ограничений, а в столбцах " x1".... " xn" - коэффициенты при переменных в системе ограничений. над обозначением переменной " x1".... " xn" указаны соответствующие коэффициенты, с которыми эти переменные входят в целевую функцию.

Элементы критериальной (m+1)-й строки вычисляются по следующим формулам

m

d cik bk

k 1

Другими словами для вычисления величины d следует элементы столбца "Сб" почленно умножить на соответствующие (находящиеся в той же строке) элементы столбца "А", а затем все полученные произведения сложить. Для вычисления величины j следует проделать аналогичную процедуру, но вместо элементов столбца "А" использовать элементы столбца "xj" и из результата суммирования вычесть величину сj, указанную в том же столбце таблицы над обозначением " xj".

В рассмотренном выше примере те переменные, которые были базисными для исходной записи задачи, не входили в целевую функцию. В таком случае можно считать, что они входят туда с нулевыми коэффициентами. Столбец "Сб" при этом оказывается заполнен нулями. Отсюда по приведенным выше формулам получаем, что

Это полностью соответствует заполнению симплексной таблицы в рассмотренном примере.

Столбцы таблицы, соответствующие базисным переменным (базисные столбцы таблицы ), имеют характерную особенность. В

118

таком столбце присутствует ровно одна 1, на остальных местах в столбце стоят 0. Единица находится именно в той строке, в которой в столбце "Хб" указана данная базисная переменная. Формула для вычисления величины j показывает, что такие величины для базисных столбцов будут равны 0, как это можно наблюдать в нашем примере.

Текущий опорный план в общем случае определяется следующим образом. Все переменные, участвующие в задаче, разбиваются на две группы - группу базисных и группу небазисных переменных. Базисные переменные перечислены в столбце " Хб ". Они в текущем опорном плане полагаются равными соответствующим (находящимся в той же строке) элементам столбца "В". Остальные, небазисные переменные полагаются равными 0.

Текущее значение целевой функции равно d (элементу на пересечении критериальной строки и столбца "В"). Определение текущего опорного плана и текущего значения целевой функции полностью согласуется с примером.

Для выяснения вопроса об оптимальности текущего опорного плана следует рассмотреть величины j, находящиеся в критериальной строке.

Если окажется, что все, j 0 ( j 1, n) , то текущий опорный план является оптимальным планом, а текущее значение целевой функции является оптимумом. В этом случае задача решена.

Таким образом, признак конца решения задачи состоит в том, что все j 0 . Этот признак называется также критерием оптимальности текущего опорного плана, а иногда - и критерием оптимальности симплексной таблицы.

Рассмотрим теперь алгоритм преобразования симплексной таблицы.

Предположим, что задача еще не решена, критерий оптимальности не выполнен. Это означает, что среди величин j существует хотя бы одна отрицательная.

119

В этом случае решение задачи следует продолжить. Необходимо изменить содержание таблицы. Новое содержание будет соответствовать новому набору базисных переменных, новому текущему опорному плану, а тем самым и новому значению целевой функции. Среди базисных переменных изменению подвергнется только одна позиция. Ровно одна из базисных переменных выйдет из их набора, станет в результате преобразования небазисной, и ровно одна из небазисных переменных войдет вместо нее в базисный набор.

Геометрический смысл такого преобразования состоит в переходе от одной вершины многогранной области допустимых планов к другой, соседней вершине. Преобразование осуществляется таким образом, чтобы для нового текущего опорного плана, то есть для новой вершины области, значение целевой функции было больше (или во всяком случае, не меньше), чем для предыдущего текущего опорного плана.

Само преобразование осуществляется методом Гаусса. Он преобразует систему уравнений в равносильную систему. Смысл задачи при таком преобразовании полностью сохраняется, изменяется лишь форма записи системы ограничений и в полном соответствии с этим - содержимое симплексной таблицы.

Опишем последовательность, в которой осуществляется преобразование таблицы.

Сначала следует выбрать отрицательную величину среди j (если таких несколько, то можно выбрать любую из них). Пусть индекс выбранной величины есть q, то есть q 0 . Соответствующему столбцу таблицы, то есть столбцу коэффициентов при переменной xq, присваивается название разрешающего столбца.

Отметим, что переменная xq, является небазисной. Если бы она была базисной, то q было бы равно 0.

В новой, преобразованной таблице переменная xq окажется в числе базисных.

120