1.4. Дискретное представление развивающейся гдс

Все исследуемые объекты, процессы и явления можно условно разде­лить на два больших класса.

1. Дискретизируемые объекты, представляющие собой перечис­ лимую совокупность взаимосвязанных компонентов, которые могут рассматриваться как элементы системных моделей этих объектов. Например: группы людей, кристаллические образования, семиоти­ ческие конструкции, алгебраические множества, категории, группы и др.

2. Непрерывные (неделимые, педискретизируемые) процессы. явления И объекты, в которых в явном, четко определенном виде нель­ зя выделить составляющие компоненты. Например: явления в электро­ магнитных полях, растворы, аморфные образования, жидкости, чело­ веческие эмоции, прокатное производство и т. д. Здесь разделение на отдельно рассматриваемые элементы приводит к невосполнимым поте­ рям в понимании сути анализируемых явлений.

Инвариантное моделирование, базирующееся на теории ГДС, дает возможность по мере необходимости строить системную модель как в дискретной, так и в волновой форме представления, сообразуясь с целями конкретного исследования, а также показывает и обосновы­вает взаимосвязь двух способов представления объектов — дискрет­ного и полевого.

Раскроем содержание одной из разновидностей дискретного пред­ставления ГДС-моделей. Для этого рассмотрим матричный способ опи­сания ГДС, основанный на применении гиперкомплексных матриц, впервые введенных для описания сложных систем в теории ГДС t2Oj.

Запишем гиперкомплексную матрицу для простейшей ГДС, изо­браженной на рис. L5, где А_г и А₂ — элементы ГДС, а у_и и у₂, —

взаимодействия между этими элемента­ ми. Получимматрицу системы 5:

В (1.33) на главной диагонали стоят элементы матрицы, отобра­жающие наличие и свойства элементов системы S. Заполнение диаго-

яали выполняем по правилу

где а,и, — матричный элемент (диагональный), стоящий на пересече­нии л-го столбца и п-й строки; А„ (S) — п-й элемент системы S.

Слепа и справа от главной диагонали располагаются матричные элементы, отображающие взаимодействия между элементами системы и 01 [ределнемые но правилу

где«,„п — элемент матрицы, стоящий на пересечении я-й строки и /«-го столбца; упт — взаимодействие элемента А„ с элементом А„, системы 5 в направлении от А„ к к_т.

Порядок матрицы определяется числом элементов и иерархических уровней системы S. В данном случае порядок матрицы N = 2 (гак как ГДС, изображенная на рис. 1.S, содержит два элемента одного иерархического уровня).

Более конкретную форму записи элементы матрицы приобретают в условиях определенного исследования.

В рамках инвариантного моделирования, при абстрактном анали­зе системных свойств, без наполнения их конкретным содержанием частного исследования, элементы гиперкомплекспоп матрицы наибо­лее удобно заиишиать с помощью М-чпсел, инериие'щхдашшх и тео­рии ГДС специально для описания сложных систем в работе [22J. При этом элементы на главной диагонали в матрице приобретают ста­тус гиперкомплексных единиц и записываются А„_л « 1.

В данном изложении, целью которого является деккжетрация прин­ципиальной возможности дискретного описания ГДС, ограничимся наиболее общими элементами формализации, используемыми в теории ГДС.

Более подробно системные особенности элементов гиперкомплекс­ной матрицы представлены в гл. 2 и 3.

Следует отметить, что описание ГДС с помощью гиперкомплексиой матрицы, хотя и наиболее системоемкое, однако не единственно воз­можное, используемое для формализованного представления ГДС. Для той же цели (особенно для описания отдельно рассматриваемых системных инвариант и закономерностей) могут использоваться ме­тоды частных наук: вероятностный подход, теоретический аппарат дис­кретной математики и т. д. В частности, возможность применения ал­гебраических групп для описания ГДС показана в работе [18).

Рассмотрим более сложный пример, учитывая изложенные особен­ности гиперкомплексной матрицы, которую is теории ГДС часто на­зывают матрицей взаимодействий и обозначают символом У. Для этого запишем и проанализируем ги пер комплексную матрицу сложной ГДС с тремя иерархическими уровнями, представленную на рис. 1.6, где символами A_lifik обозначены элементы различного иерархического уровня системы S, а У(и,т»,п.п—взаимодействия между этими элементами.

8апвшем матрицу взаимодействий У системы S:

В матрице (1.36) имеем по два элемента на каждом из трех иерархи* ческих уровней a, р\ у.

В соответствии с (1.37), по правилам теории ГДС, порядок N ги­перкомплексной матрицы У с тремя иерархическими уровнями запи­шется в виде многомернойдроби [20]:

^rAe*wi^a* = 2 — число элементов на иерархическом уровне a; N (а) =» ^в N (р) — ЛГ (у) = 2 определяются аналогично.

Покажем взаимосвязь матрицы Y с изложенными ранее порядком определения системы S и Я-принципом.

В общем случае элементы матрицы У зависят от времени, отображая процессразвития ^г

В соответствии с (1.38), анализируя процесс системной реализа­ции, изложенный в 1.3, получаем условия, при которых матрица У будет отображать основные фазы процесса системной реализации.

1. Фаза развития

Дифференцирование проводитсяно всем системным инвариантам,в частности ~ > 0.

2. Стационарныйрежим

Расшифровывается аналогично фазе развития.

3. Фаза распад?

Анализируя гиперкомплексную матрицу исследуемой системы» можно построить соответствующую этой системе кривую процесса системной реализации.

Очевидно, что выражения (1.39) — (1.41) отображают идеализиро­ванную ситуацию для простейшего случая процесса системной реали­зации. Являясь абсолютно верными для отображения сути сиюминут­ного (мгновенного) состояния системы, каждое из указанных условий может присутствовать (в качестве флюктуации) i; каждой из <\\\л про­цесса системной реализации. Например, если процесс системной ре­ализации идет не по явно выраженной линии, а нутом колебаний, то да­же на протяжении одной фазы можно будет найти такие отрезки при­мени, для которых будут справедливы указанные условия.

Относительно определения системы следует отметить: если для опи­сания системы применяется гиперкомплексная матрица, то при выпол­нении операций с ней иеибходнмо укакьшать (индексом при соответ­ствующем символе) тот иерархический уровень, на Котором надо вы­полнить требуемую операцию. Например, рассмотрим процедуру получения системного свойства S₃ (структурности) для системы S, описываемой матрицей (1.36). При этом пас будет интересовать не вся система, а только ее часть, которая находится на втором (Р) и треть­ем (у) иерархических уровнях. Символически указанную задачу и ее решение можно записать в виде

где индекс (0, Р, у) в общем (буквенном) виде, а индекс (0, 1, i) с цифровой форме записи указывает, что операцию выделения графа из системы необходимо выполнять только для иерархических уровней Р и у, минуя уровень а (вместо а ставим нуль на соответствующем месте индекса). В (1.42) единицы обозначают наличие элемента ил г связи в анализируемой системе, а нуль (часто не пишется) — их от­сутствие. Выражение (1.42) можно рассматривать как матричную форму записи искомого графа. При необходимости на основе (1.42) лег­ко построить графическое отображение найденной системной харак­теристики — свойства структурности.

Отвлекаясь от ГДС-содержания, можно отметить, что гиперкомп-лекеная матрица (но своей форме) еошшдаст с обычно» квадратной матрицей, используемой в классической математике, если исследуе­мая ГДС, отображаемая этой матрицей, имеет только один иерархи­ческий уровень [12].

Использование матричного описания систем особенно удобно (в си­лу легкой алгоритмизуемостн) при реализации методов теории ГДС с помощью ЭВМ.