УРОК 39

Тема уроку: Розв'язування ірраціональних нерівностей.

Мета уроку: Познайомити учнів з узагальненим методом інтер­валів. Формування умінь розв'язувати ірраціональні нерівності.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Перевірити розв'язування вправ № 71 (3), 67 (1), 79 (1) за розв'язаннями на дошці, заготовленими до уроку.

2. Самостійна робота.

Варіант 1 Розв'яжіть рівняння: а) = . (4 бали) б) – = 2. (4 бали) в) = 2 – х. (4 бали)

Варіант 2 Розв'яжіть рівняння: a) = . (4 бали) б) – = 2. (4 бали) в) = х – 3. (4 бали)

Відповідь: В-1: а) коренів немає; б) 6; в) коренів немає.

В-2: а) 4; б) 5; в) коренів немає.

II. Сприймання і усвідомлення узагальненого методу інтервалів розв'язування нерівностей.

Розв'язком нерівності f(x) > 0 (f(x) < 0) можуть бути тільки числа, що входять в область визначення функції у = f(x). Розв'язком нерівності f(x) > 0 є ті інтервали області визначення функції у = f(x), на яких ця функція додатна. З'ясуємо, яким чином до­вільна функція може змінити свій знак.

На рис. 138 і 139 зображено графі­ки двох функцій. На рис. 138 графік розривається в точках х = - 1 і х = 1 і знак функції змінюється при переході через точки -1 і 1. На рис. 139 знак функції змінюється при переході графі­ка з нижньої півплощини у верхню (і навпаки), тобто в тих точках, де графік перетинає вісь ОХ. На осі ОХ значення функції дорівнює нулю, тому значення аргументу, при яких функція дорівнює 0, називаються нулями функції.

Отже, будь-яка функція може змінювати свій знак тільки в точках, де розривається графік функції, або в нулях.

Отже, щоб розв'язати нерівність f(x) > 0 (f(x) < 0) треба:

1. Знайти область визначення функції у = f(x). (Коли ми знахо­димо область визначення функції, то при цьому виділяються і точки, у яких розривається графік функції).

2. Знайти нулі функції (розв'язати рівняння f(x) = 0).

3. На координатній прямій позначити нулі функції на області визначення функції і визначити знак функції на кожному інтервалі, на які розбивають нулі область визначення (у кож­ному із цих інтервалів функція зберігає знак, і його можна визначити в якій-небудь точці цього інтервалу).

4. Записати відповідь (вибрати інтервали, де функція має по­трібний знак).

Розв'язування нерівності таким чином називається розв'язу­ванням нерівності методом інтервалів. Строге обґрунтування цього методу може бути зроблено в курсі 11 класу.

Розв'яжемо нерівність із вправи 85 (б): < 8 – х.

Розв'язання

Приведемо нерівність до вигляду – 8 + х < 0.

Введемо функцію у = – 8 + х і знайдемо значення х, при яких у < 0. Для цього:

1. Знайдемо область визначення функції: (х+2)(х–5)0 D(y) = (-; -2] [5; +) (рис. 140).

2. Знайдемо нулі функції:

– 8 + х = 0, = 8 – х, (х + 2)(х – 5) = 64 – 16х + х²,

х² – 3х – 10 = 64 – 16х + х², 13х = 74, х = .

3. Наносимо нуль функції на область визначення функції (рис. 141):

Знаходимо знак на кожному з трьох інтервалів, на які розби­вається область визначення ну­лем функції:

f(-3) = – 8 – 3 = – 8 – 3 < 0,

f(5,5) = – 8 + 5,5 = – 2,5 < 0,

f(6) = – 8 + 6 = – 2 > 0 і записуємо відповідь.

Відповідь: (-; - 2] .

Розв'язування вправи № 85 (2; 3).

III. Підведення підсумків уроку.

IV. Домашнє завдання.

Вправа № 85 (1; 3) до розділу III.