Задачі для самостійного розв’язання.

1. Визначити координати фокуса та скласти рівняння директриси для кожної з наступних парабол:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6).

2. Скласти канонічне рівняння параболи у кожному з наступних випадків:

1) відстань від фокуса, що лежить на осі Ох, до вершини дорівнює 4;

2) парабола симетрична відносно осі абсцис і проходить через точку M(1, 2);

3) парабола симетрична відносно осі ординат і проходить через точку

M(1, 2).

3. Скласти канонічне рівняння параболи в кожному з наступних випадків: 1) фокус має координати; 2) фокус має координати3) директриса має рівняння; 4) директриса має рівняння.

4. Обчислити фокальний радіус точки для параболи , якщо її абсциса дорівнює. Тут– фокус параболи.

5. Побудуйте лінію у прямокутній декартовій системі координат:

1) ;

2) ;

3) .

6. На параболі знайти точку, фокальний радіус якої дорівнює 7.

7. Під гострим кутом до горизонту кинуто камінь, який, рухаючись по параболі, упав на відстані 12 м від початкового положення. Визначити параметр траєкторії, знаючи, що найбільша висота, досягнута каменем, дорівнює 3 м.

8. Визначити площу трикутника, у якого одна вершина належить директрисі параболи , а дві інші є кінцями хорди, що проходять через фокус і перпендикулярна до осі

9. Обчислити довжину сторони правильного трикутника , вписаного в параболу з параметром, якщо точкаспівпадає з вершиною параболи.

10. Знайти довжини сторін трикутника, вписаного в параболу з параметром , якщо одна з його вершин співпадає з вершиною параболи, а ортоцентр – з фокусом.

11. Написати рівняння прямої, що проходить через точку, на якій параболавідсікає хорду, серединою якої служить точка.

12. Довести: якщо пряма не паралельна осі, то, для того щоб вона була дотичною до параболи, необхідно та достатньо, щоб

13. Скласти рівняння дотичної до параболи в точці.

14. Написати рівняння прямої, що має кутовий коефіцієнт k ≠ 0 і дотикається до параболи.

15. Написати рівняння прямих і, які мають кутові коефіцієнтиівідповідно і дотичні до параболи.

16. Взявши на площині прямокутну декартову систему координат, побудувати області, які визначаються наступними системами нерівностей:

a) b)

17. Знайти найкоротшу відстань від точок параболи до прямої

18. Знайти множину основ перпендикулярів, опущених з фокуса параболи на всі її дотичні.

19. Знайти множину всіх точок, кожна з яких симетрична фокусу параболи відносно деякої дотичної.

20. Знайти множину точок, з яких параболу видно під прямим кутом.

21. Якщо з будь-якої точки директриси проведені до параболи дві дотичні, то пряма, що з'єднує точки дотику, проходить через фокус параболи. Довести.

22. Довести оптичну властивість параболи: всяка дотична до параболи утворює рівні кути з фокальним радіусом точки і з променем, що проходить через точку дотику і співнапрямлена з віссю.

23. Довести, що добуток довжин перпендикулярів, опущених з кінців будь-якої фокальної хорди (тобто хорди, що проходить через фокус) на вісь параболи, має постійну величину.

Практичне заняття № 17. Полярна система координат. Рівняння конічних перерізів у полярній системі координат.