2.3. Застосування похідної

Розглянемо, як при доведені нерівностей можна використовувати похідну. Суть цього прийому полягає в наступному.

Нехай на певному проміжку із області визначення функційтапотрібно довести нерівність. Введемо в розгляд функцію. Нехай похіднамає на відрізку, що розглядається, єдиний корінь, це значення є точкою мінімуму функції, а також виконується нерівність. Тоді цього достатньо, щоб стверджувати, що на проміжкувиконується нерівність.

Даний прийом можна використовувати і при доведенні числових нерівностей. Для цього спочатку вводять у розгляд деяку функцію, яка приймає задані числові значення у певних точках, після чого приступають до реалізації описаної вище схеми.

Наведемо приклади таких доведень.

Задача 2.3.1.Довести нерівність

.

Доведення. ОДЗ:. Очевидно, що прими отримуємо рівність. Розглянемо функцію. Її похіднадорівнює 0 в точціі монотонно зростає (останнє випливає з того, що її похіднадодатна). Таким чином, для функціїточкає точкою екстремуму, а саме точкою мінімуму. Тому для всіх, що належать ОДЗ, виконується нерівність, що і потрібно було довести.

Зауважимо, що одночасно нами фактично розв’язане рівняння з єдиним коренемта нерівністьз розв’язками .

Задача 2.3.2.Привиконується нерівність. Довести.

Доведення.Розглянемо функцію. Знайшовшита, бачимо, що друга похідна перетворюється в 0 у точціі при переході через цю точку змінює знак із «-» на «+». Це означає, що для функціїточкає точкою мінімуму і. Таким чином,на всій числовій осі. Звідси випливає, що функціямонотонно зростає. Оскільки, то примаємо. Нерівність доведена.

Одночасно нами отримано наступні результати:

рівняння має єдиний корінь;

нерівність має розв’язки.

розв’язками нерівності є проміжок.

Задача 2.3.3.Довести, що придля всіх натуральнихвиконується нерівність(нерівність Бернуллі).

Доведення.Принерівність вірна. Нехай. Розглянемо функцію. Її похіднаперетворюється в нуль у єдиній точці, яка, як легко бачити,, є точкою мінімуму. Тому для всіхвиконується нерівність, тобто. З одержаного співвідношення випливає нерівність Бернуллі.

Задача 2.3.4.Довести, що привиконується нерівність

.

Доведення. Розглянемо тільки випадок, оскільки приперепозначення зміннихнатанаприведе нас до аналогічних міркувань. Примаємо очевидну рівність. Нехай. Введемо замінута розглянемо функцію. Очевидно, що похіднане перетворюється в нуль у жодній точці і, оскількита, то, монотонно зростаючи, не може приймати від’ємних значень. Тому, що доводить задану нерівність.

Задача 2.3.5. Довести нерівність(приклад 2.2.10).

Доведення. Нехай. Розглянемо функцію. Її похіднаперетворюється в нуль у точці. Очевидно, що це є точка мінімуму і. Оскільки, то, що фактично і потрібно було довести. Рівність виконується при.

Задача 2.3.6.Довести, що для всіх дійснихвиконується нерівність.

Доведення. Розглянемо функцію. Маємо. Рівність похідної нулю досягається при. Очевидно, що знайдене значення є точкою мінімуму. Для значеньбуде виконуватися нерівність. Рівність виконується при.

Задача 2.3.7.Довести, що для всіх дійснихвиконується нерівність

.

Доведення. Розглянемо функцію. Похіднаприймає значення 0 в єдиній точці. Очевидно, що це значення є точкою мінімуму. Тому для значеньбуде виконуватися нерівність. Рівність досягається при.

Задача 2.3.8.Довести, щодля всіх натуральних.

Доведення. Розглянемо функціюта знайдемо її похідну. Маємо. Оскільки

,

то на проміжках ,похідна має принаймні по одному кореню. Більше коренів рівняннямати не може. Справді, рівняннямає єдиний корінь (оскількиідля достатньо великих). Тому функціямає єдину точку екстремуму – а саме точку мінімуму, а рівнянняу нашому випадку має тільки два корені. Таким чином обґрунтовано, що похіднана проміжкуприймає додатні значення і функціязростає. Отже,. Нерівністьна проміжкувиконується для довільних, тому і для всіх натуральних, вибраних у цій множині.

Зауважимо, що інше доведення цієї нерівності методом математичної індукції наведене нами у виді задачі 1.6.3.

Задача 2.3.9.Довести нерівність.

Доведення. Зробимо наступні перетворення:

.

Перший множник отриманого виразу приймає тільки додатні значення. Покажемо, що і другий множник теж завжди додатний. Для цього розглянемо функцію . Її похіднаперетворюється в нуль в точкахта. Легко переконатися, що приекстремуму нема, а точкає точкою мінімуму. Оскільки, то функція приймає тільки додатні значення.

Задача 2.3.10.Порівняти числата.

Розв’язання. Порівняємо натуральні логарифми цих чисел, тобто числата, що рівносильне поставленій задачі, оскільки функціямонотонно зростає на своїй області визначення. Для цього розглянемо функцію, визначену на інтервалі. Встановимо проміжки її монотонності. Очевидно, що похіднаперетворюється в нуль у точці. Легко встановити, що це точка максимуму і що на проміжкуфункція монотонно спадає. Оскільки цьому проміжку належать числата, то більшому з них відповідає менше значення функції. Томуі.

Задача 2.3.11. Довести,щопри виконується нерівність .

Доведення. Доведемо нерівність , яка на вказаному проміжку рівносильна заданій. Розглянемо функціюна інтерваліта доведемо, що на ньому вона зростає. Для цього достатньо показати, що. Маємо

.

Оскільки знаменник похідної на вказаному проміжку додатний, то покажемо, що додатним є також чисельник, тобто, що виконується нерівність . А це випливає з нерівностідлятапри. Отже,і функціязростає на інтервалі. Томудляабо.