2.4. Застосування інтеграла.

Використання інтегрального числення при доведенні нерівностей використовує наступні міркування. Нехай на проміжку задані дві неперервні функціїтаі в усіх точках цього проміжку виконується нерівність. Тоді на заданому відрізку виконується також нерівність. Аналогічне твердження стосується також випадків,та.

Алгоритм використання даного прийому може виглядати наступним чином. Для доведення нерівності розглядаємо функціїта, де,. Якщо виконується нерівність, то стверджуємо, що вірна нерівність.

Задача 2.4.1. Довести, що привиконуються нерівності

,.

Розв’язання. Оскільки на вказаному проміжку виконується нерівність, то. Звідси знаходимо. Інтегруючи одержану нерівність ще раз, маємо

.

З одержаної нерівності отримуємо, що .

Задача 2.4.2.Довести нерівність

.

Розв’язання.Розглянемо функцію, значення якої наявні в нерівності. Оскільки кожний доданокможна трактувати, як площу прямокутника з висотоюта основою, що дорівнює 1 (відстань між точкамита), то

.

2.5. Опуклі функції та їх застосування до доведення нерівностей. Нерівність Єнсена

Розглянемо функцію , визначену та диференційовану на відрізкуі позначимо черезчастину її графіка, що відповідає відрізку.

Функціюназивають опуклою вгору (вниз) на відрізку, якщо для довільної точкикривалежить нижче (вище) від дотичної до, проведеної в точці(рис. 1).

Серед деяких властивостей опуклих функцій відмітимо ті, які в подальшому використаємо при доведенні деяких нерівностей.

1. Якщо функція на відрізкуопукла вгору, то для двох довільних різних точоквиконується нерівність

.

2. Якщо функція на відрізкуопукла вниз, то для двох довільних різних точоквиконується нерівність

.

Доведення обох тверджень очевидне. Зокрема у першому випадку достатньо побачити, що довжина відрізка, який дорівнює, менша від довжини відрізка, який дорівнює(рис. 2).

3. Якщо функція на відрізкуопукла вгору і числане всі рівні між собою, то виконується нерівність

. (*)

4. Якщо функція на відрізкуопукла вниз і числане всі рівні між собою, то виконується нерівність

. (**)

Доведення двох останніх тверджень можна реалізувати за допомогою методу математичної індукції.

Нерівності (*), (**), які у математиці називають нерівностями Єнсена, можуть служити основою для складання та доведення різних нерівностей. Достатньо вибрати конкретну функцію, опуклу вгору або вниз та замінити нею функцію .

Наведемо приклади подібних доведень.

Задача 2.5.1. Довести, що для різнихвиконується нерівність

.

Доведення. Для доведення достатньо у співвідношенні (*) використати замістьфункцію, графік якої на вказаному відрізку опуклий вверх.

Задача 2.5.2.Довести, що для довільних чиселвиконується нерівність

.

Доведення. Тут ми повертаємося до розгляду задачі 1.3.2. У цьому випадку використовуємо співвідношення (**), а в роліфункцію, графік якої приопуклий вниз.

Задача 2.5.3. Порівняти числата.

Доведення. Розглянемо функцію, графік якої на проміжкуопуклий вниз. Застосувавши нерівність Єнсена у виді співвідношення (**), отримуємо

.

Тому

.

Задача 2.5.4. Довести, що правильний-кутник має найбільший периметр серед усіх вписаних в коло-кутників.

Доведення. Нехай-кутниквписаний у коло з центром у точціта радіусом. Позначимо. Тоді(знак строгої нерівності буде у випадку, коли центр кола лежить поза многокутником). Користуючись теоремою косинусів отримуємо, що для периметра многокутникамаємо

.

Оскільки і функціяна вказаній множині значень опукла вгору, то з нерівності Єнсена отримуємо, що

,

а саме останньому значенню дорівнює периметр правильного вписаного в коло многокутника.

Розглянемо, як нерівність Єнсена та наведені міркування можна використати для доведення класичних нерівностей між середніми. Як ми уже знаємо (розділ 1.7), для додатних чиселтакими є середнє арифметичне, середнє геометричне, середнє квадратичнета середнє гармонічне. Ці середні величини знаходяться у співвідношеннях. Знак рівності в усіх випадках виконується тоді і тільки тоді, колирівні. Доведемо строгі нерівності, вважаючирізними.

Для доведення першої нерівності , тобто

використаємо у ролі функцію, графік якої опуклий вниз, та співвідношення (**). Відповідно до нього отримуємо

,

звідки, добувши корінь з обох частин, дістаємо шукане співвідношення.

Для доведення другої нерівності , тобто

використаємо у ролі функцію, графік якої опуклий вгору, та співвідношення (*). Отримуємо

або

.

Потенціюючи одержаний вираз, отримуємо шукане співвідношення.

Для доведення останньої нерівності , тобто нерівності між середнім геометричним та середнім гармонічним

,

знову використаємо функцію , тільки співвідношення (*) застосуємо до чисел. Отримуємо

або

,

що фактично завершує доведення потрібної нерівності.