Студентам ИТ / 3 ЛП_ИТ / ИТ_обраб_мног_данных / ИТ_обраб_мног_данных_Excel
.pdf4. Собственные векторы и собственные значения матрицы
Пусть A — числовая квадратная матрица n-го порядка:
|
a |
|
a |
. |
a |
|
||
|
11 |
|
12 |
|
|
1n |
||
A |
|
|
a22 |
. |
|
|
|
|
a21 |
a2n |
|||||||
|
. |
|
. |
. |
|
. |
|
|
|
|
|
a |
|
. |
a |
|
|
|
a |
n1 |
n2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
nn |
|||
21
(1)
Матрица A – E, где E — единичная матрица (все диагональные элементы равны 1, а остальные 0) n-го порядка, называется характеристической для A, а ее определитель
A( ) = det(A – E) характеристическим многочленом матрицы A:
a |
|
|
a |
|
. |
|
a |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
1n |
|
|
|
a |
|
a |
|
|
. |
|
a |
|
|
|
A E |
|
21 |
|
22 |
|
|
|
|
2n |
|
(2) |
|
|
|
|
. |
. |
|
|
. |
|||
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
|
|
a |
|
. |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|
nn |
|
|
|
Характеристическая матрица — это λ - матрица. Нетрудно заметить, что степень характеристического многочлена равна порядку n характеристической матрицы.
Ненулевой столбец, удовлетворяющий условию:
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
|
, |
Ax x. |
(3) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
называется собственным вектором матрицы A. Число в равенстве (3) называется собственным значением матрицы A. Говорят, что собственный вектор x соответствует (принадлежит) собственному значению .
Поставим задачу нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы. Определение (3) можно записать в виде (A – E) x = 0. Таким образом, условие
(3) представляет собой однородную систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2, …, xn:
(a11 )x1 |
a12 x2 |
. |
a1n xn |
|
0, |
||||||||
|
a21x1 |
(a22 )x2 |
. |
a2n xn |
|
0, |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
. |
|
|
. |
|
|
. |
|
|
. |
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
a |
|
x |
|
|
. (a |
|
)x |
|
0. |
|
|
n2 |
2 |
nn |
n |
|||||||||
|
|
n1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку нас интересуют только нетривиальные решения (x 0) однородной системы, то определитель матрицы системы должен быть равен нулю:
22
a |
|
|
|
a |
|
. |
|
a |
|
|
|
a |
|
a |
|
. |
|
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
1n |
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
1n |
|
|
a |
|
a |
|
|
. |
|
a |
|
|
|
a |
|
a |
|
|
. |
|
a |
|
|
||
det |
|
|
21 |
|
22 |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
21 |
|
22 |
|
|
|
|
2n |
0. (5) |
|
|
|
|
|
. |
. |
|
|
. |
|
. |
|
|
. |
. |
|
|
. |
||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
a |
|
|
a |
|
. |
a |
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
. |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|
nn |
|
|
|
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|
nn |
|
|
В противном случае система имеет единственное тривиальное решение. Таким образом, задача нахождения собственных значений матрицы свелась к решению уравнения (5), т.е. к отысканию корней характеристического многочлена A( ) = det(A –E) матрицы A.
Уравнение A( ) = det(A – E) = 0 называется характеристическим уравнением
матрицы A. Так как характеристический многочлен имеет n-ю степень, то характеристическое уравнение — это алгебраическое уравнение n-го порядка.
Характеристический многочлен можно представить в виде:
A( ) = det(A – E) = an ( – 1)n1 ( – 2)n2 …( – k)nk , |
(6) |
где 1, 2, …, k — корни многочлена кратности n1, n2, …, nk соответственно, причем n1 + n2 +…+ nk = n. Другими словами, характеристический многочлен имеет n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
Теорема о собственных значениях матрицы. Все корни характеристического многочлена (характеристического уравнения (5)) и только они являются собственными значениями матрицы.
Действительно, если число — собственное значение матрицы A, которому соответствует собственный вектор x 0, то однородная система (4) имеет нетривиальное решение, следовательно, матрица системы вырожденная, т.е. число удовлетворяет характеристическому уравнению (5). Наоборот, если — корень характеристического многочлена, то определитель (5) матрицы однородной системы (4) равен нулю, т.е. rg(A – E) < n. В этом случае система имеет бесконечное множество решений, включая ненулевые решения. Поэтому найдется столбец x 0, удовлетворяющий условию (4). Значит, — собственное значение матрицы A.
Литература
1.Николаева С.В. Решение математических задач в Excel: лабораторный практикум для обучающихся всех направлений бакалавриата. - М.: МГУТУ, 2014. – 56 с.
2.Интернет-ресурс: http://mathhelpplanet.com/static.php?p=sobstvennye-vektory-i- sobstvennye-znacheniya-matritsy.
Телефоны кафедры Информационных технологий МГУТУ им. К.Г. Разумовского
(факс) 8(495) 670-66-00; 8(495) 678-25-34; Email – kit2202@yandex.ru
Сайт кафедры – kafedrait.com
____________________________________________________________
Краснов Андрей Евгеньевич, Николаева Светлана Владимировна, Феоктистова Наталия Владимировна
Информационные технологии обработки многомерных данных в Excel:
лабораторный практикум