Глава 2. Цифровые системы управления

2.1. Дискретные сигналы и их z-преобразование.

Ниже на рис. 2.1.1 приведена функциональная схема одноконтурной цифровой системы управления. Компьютер в этой системе по определенной программе обрабатывает представленную в цифровой форме информацию и выдает на выходе сигнал также в цифровой форме. Программа может быть написана так, что качество системы в целом будет равно или очень близко к заданному. Многие компьютеры способны принимать и обрабатывать несколько входных сигналов, поэтому цифровые системы управления часто бывают многомерными.

Рис. 2.1.1

Компьютер получает и обрабатывает сигнал в цифровом (численном) дискретном виде, а не в виде непрерывной переменной. В цифровой системе управления обязательно присутствует компьютер, входной и выходной сигнал которого представлены в виде числового кода. Преобразование непрерывного сигнала в цифровую форму осуществляет аналого-цифровой преобразователь (АЦП). Выходной сигнал компьютера (цифровой) преобразуется в непрерывную форму с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП). В результате любой непрерывный сигнал x(t) будет представляет собой последовательность дискретных значений x(kt), где k = 0, 1, 2 целые числа.

Данные, получаемые о переменных системы только в дискретные моменты времени и обозначаемые как x(kt), называются квантованными данными или дискретным сигналом.

Любое устройство, преобразующее непрерывный сигнал в дискретный, можно рассматривать как квантователь или ключ, который замыкается каждые t секунд на бесконечно малый отрезок времени. Рассмотрим идеальный квантователь, изображенный на рис. 2.1.2. Его входной сигнал обозначен как x(t) а выходной – x^*(t) = = x(kt) (t – kt), где kt есть текущий момент замыкания, а (t) – единичная импульсная дельта-функция (Дирака).

Рис. 2.1.2

Предположим, что мы квантуем сигнал x(t), как показано на рис. 2.1.3, и получаем x^*(t). Тогда дискретный сигнал x^*(t) можно представить в виде последовательности импульсов (условно обо­значенных вертикальными стрелками), начи­нающихся при t = 0, разделенных интервалами в t секунд и имеющих амплитуды x(kt).

Рис. 2.1.3

Цифроаналоговый преобразователь – это устройство, которое преобразует дискрет­ный сигнал x^*(t) в непрерывный сигнал p(t). Обычно его можно представить в виде фикса­тора (экстраполятора нулевого порядка, ЭПО), как показано на рис. 2.1.4.

Рис. 2.1.4

Экстраполятор воспринимает значение x(kt) и сохраняет его постоянным на интервале kt < t < (k+1)t, как проиллюстрировано на рис. 2.1.5 для k = 0. Таким образом, значение x(kt) имеет место на выходе экстраполятора в течение всего периода квантования. Рис. 2.1.5 соответствует реакции экстраполяторнулевого порядка на единичный входной сигнал. При этом, передаточная функция экстраполятора равна

. (2.1.1)

Рис. 2.1.5

Квантователь и фиксатор могут достаточно точно воспроизводить входной сигнал, если только он незначительно изменяется за время, равное периоду квантования t. Реакция квантователя и фиксатора на линейный входной сигнал изображена ни рис. 2.1.6.

Рис. 2.1.6

Z-преобразование дискретных сигналов.

Выходной сигнал x^*(t) идеального квантователя представляет собой последовательность импульсов с амплитудами x(kt)

. (2.1.2)

Преобразовав (2.6.2) по Лапласу (см. 1.3.1 стр. 19), получим

. (2.1.3)

Это выражение представляет собой бесконечный ряд по степеням члена e^st. Введем переменную z = e^st, возможно определить новое преобразование, называемое z-преобразованием

. (2.1.4)

Пример 2.6.1. Найдем z-преобразование единичной ступенчатой функции Xевисайда (t)

. (2.1.5)

В общем случае z-преобразование функции f(t) определяется как

. (2.1.6)

Таблица 2.1.1 содержит z-преобразования часто встречающихся функций, а таблица 2.1.2 – его свойства. С более полной таблицей 2.1.1 можно познакомиться на сайте MCS.

Таблица 2.1.1

x(t)	X(s)	X(z)
Ступенчатая функция Хевисайда, (t)	1/s	z/ (z–1)
Импульсная функция Дирака (t)	1	1
(t–kt)	exp(–kt)	z-k
t	1/s2	t z / (z–1)2
exp(– at)	1/(s + a)	z / [z–exp(–at)]
1 – exp(– at)	1/s(s + a)	z [1– exp(–at)] / (z-1)[z–exp(–at)]
sin( t)	 /(s2 + 2)	z sin(t) / [z2–2zcos(t)+1]
cos( t)	s /(s2 + 2)	z [z – cos(t)] / [z2–2zcos(t)+1]
exp(-at) sin( t)	 /[(s2 + a2) + 2]	z exp(–at)sin(t) / [z2–2z exp(–at)* *cos(t)+exp(–2at)]
exp(-at) cos( t)	(s + a)/[(s2 + a2) + 2]	z2 – z exp(–at)* *cos(t)/ [z2–2z exp(–at)* *cos(t)+exp(–2at)]

Таблица 2.1.2

x(t)
1. k x(t)	k X(z)
2. x1(t) + x2(t)	X1(z) + X2(z)
3. x(t+t)	z X(z) – z x(0)
4. t x(t)	–t z d X(z) / dz
5. exp(–at) x(t)	X[z exp(at)]
6. x(0), начальное значение	lim X(z) при z  
7. x(), конечное значение	lim(z–1)X(z) при z  1, если все полюсы (z–1)X(z) находятся внутри единичной окруж-ности z = 1 на z-плоскости

Передаточная функция разомкнутой дискретной системы.

Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в z-области определяется по z-преобразованиям входного X(z) и выходного Y(z) сигналов

. (2.1.7)

Пример 2.1.2. Пусть разомкнутая дискретная система состоит из последовательно соединенных экстраполятора нулевого порядка (см. рис. 2.1.4) с передаточной функцией G₀(s) (см. 2.1.1) и ТО с передаточной функцией G_ТO(s) = 1/ s (s+1), как показано на рис. 2.1.7.

Рис. 2.1.7

Требуется найти отклик системы на единичный импульсный входной сигнал x(t) = (t) (функцию Дирака) при t = 1 c.

Передаточная функция по Лапласу данной системы равна

G(s) = G₀(s) G_ТO(s) = [1–exp(–st)] / s² (s + 1) =

= [1–exp(–st)] [(1/s²) + (1/s) + 1/(s+1)]. (2.1.8)

Выбирая из таблицы 2.1.1 z-преобразование для каждого из слагаемых (2.1.8), получим

G(z) = Z{[1–exp(–st)] [(1/s²) – (1/s) + 1/(s+1)]} =

= (1– z^-1) Z{[(1/s²) – (1/s) + 1/(s+1)]} = (2.1.9)

= =

= .

Поскольку t = 1, то

G(z) = . (2.1.10)

Так, как X(z) = 1, то Y(z) = G(z). Поделим числитель (2.1.10) на его знаменатель

Следовательно,

Y(z) = 0,3678 z^-1 + 0,7675 z^-2 + 0,9145 z^-3 + … (2.1.11)

Таким образом, на выходе системы в дискретные моменты времени (раз в секунду) будут появляться следующие значения:

y(0) = 0; y(1) = 0, 3678; y(2) = 0, 7675; y(3) = 0, 9145.

Передаточная функция замкнутой дискретной системы.

На рис. 2.1.8 показана замкнутая схема рассмотренной ранее разомкнутой цифровой системы (показаны некие условные ключи, работающие синхронно с экстраполятором).

Рис. 2.1.8

Передаточная функция такой системы равна

П(z) = . (2.1.12)

Пример 2.1.3. Пусть передаточная функция G(z) рассмотренной на рис. 2.1.8 замкнутой дискретной системы описывается выражением (2.1.10), как в примере 2.1.2. Требуется найти передаточную функцию П(z) замкнутой дискретной системы, а также – ее переходную характеристику, т.е. реакцию на единичную ступенькуx(t) = (t) (функцию Хевисайда).

Подставляя (2.1.10) в (2.1.12), найдем

П(z) = . (2.1.13)

Так как z-преобразования функции Хевисайда равно X(z) = = z/(z–1), то

.

Произведя деление числителя на знаменатель по алгоритму, рассмотренному в примере 2.1.3, получим

Y(z) = 0,3678 z^-1 + z^-2 + 1,4z^-3 +1,4z^-4 + 1,147 z^-5 + … (2.1.14)

Таким образом, на выходе замкнутой системы в дискретные моменты времени (раз в секунду) будут появляться следующие значения:

y(0) = 0; y(1) = 0, 3678; y(2) = 1; y(3) = 1,4; y(4) = 1,4; y(5) = 1,147.

2.2. Анализ устойчивости дискретных систем.

Линейная непрерывная система с обратной связью устойчива, если все полюсы ее передаточной функции П(s) расположены в левой половине s-плоскости (см. рис. 1.3.1 на стр. 21).

Z-плоскость и s-плоскость связаны преобразованием

z = exp(st) = exp[( + j)t]. (2.2.1)

Отсюда следует, что

z = exp(t) и arg z = t. (2.2.2)

В левой половине s-плоскости  < 0, поэтому 0 z  1. Конформное отображение (2.2.1) переводит мнимую ось s-плоскости в единичную окружность на z-плоскости, а область внутри этой окружности соответствует всей левой половине s-плоскости.

Замкнутая дискретная система устойчива, если все полюсы ее передаточной функции П(z) расположены на z-плоскости внутри единичной окружности.

Пример 2.2.1. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 2.1.8, где

G(z) = , (2.2.3)

a K – коэффициент усиления регулятора.

Поскольку знаменатель передаточной функции П(z) замкнутой системы равен 1+ G(z), то ее характеристическое уравнение имеет вид

q(z) = 1+ G(z) = z²–[1,3678–0,3678K]z +0,3678+0,2644K = 0.

При K = 1 получим

q(z) = z² – z +0,6322 =

= (z – 0,50 + j0,6182)(z – 0,50 – j0,6182) = 0.

Так как оба корня расположены внутри единичной окружности, то система устойчива.

Если K = 10, то

q(z) = z² + 2,310z +3,012 =

= (z + 1,155 + j1,295)(z + 1,155 – j1,295) = 0,

и система неустойчива.

Дискретная система второго порядка может стать неустойчивой при увеличении коэффициента усиления, тогда как непрерывная система второго порядка устойчива при любых значениях коэффициента усиления, если оба ее полюса находятся в левой половине s-плоскости.

2.3. Реализация цифровых регуляторов.

Рассмотрим непрерывный ПИД-регулятор с передаточной функцией (см. 1.6.6 стр. 42)

. (2.3.1)

Цифровую реализацию этого регулятора можно получить, если использовать дискретную аппроксимацию операций дифференцирования и интегрирования. Для производной по времени воспользуемся правилом правой разности (см. 1.2.5 стр. 17)

. (2.3.2)

Применив к (2.3.2) z-преобразование, получим

. (2.3.3)

Операцию интегрирования аппроксимируем с помощью формулы прямоугольников

, (2.3.4)

где u(kt) – выход интегратора в момент t = kt. Применив к (2.3.4) z-преобразование, получим

, или . (2.3.5)

Таким образом, передаточная функция цифрового ПИД- регулятора имеет вид

. (2.3.6)

Применим к (2.3.6) обратное z-преобразование и получим разностное уравнение, описывающее алгоритм работы цифрового ПИД-регулятора

u(k) = K₁ e(k) + K₂ [u(k–1) + t e(k)] +[e(k) – e(k–1)] =

= K₂ u(k–1) + [K₁ + K₂ t + ] e(k) – e(k–1). (2.3.7)

Вычисление по уравнению (2.3.7) легко выполнить с помощью компьютера.

2.4. Модели систем в переменных состояния.

Широкое применение цифровых компьютеров побуждает рассматривать и описывать системы управления во временной области. Соответствующие методы являются более мощными по сравнению с рассмотренным выше методом преобразования Лапласа для анализа линейных систем управления с постоянными параметрами, т.к. могут быть применены к нелинейным, нестационарным и многомерным системам. Нестационарная система управления – это система, в которой один или более параметров являются функциями времени.

Переменные состояния динамической системы.

Предположим, что система управления описывается дифференциальным уравнением второго порядка

B d²y(t) /dt² + C dy(t) /dt + D y(t) = x(t). (2.4.1)

Выберем в качестве переменных состояния координату y(t) и скорость ее изменения dy(t)/dt. Введем обозначения этих переменных

y₁(t) = y(t), (2.4.2)

y₂(t) = dy(t)/dt.

Тогда вместо дифференциального уравнения (2.1.1) второго порядка можно рассматривать систему дифференциальных уравнений первого порядка

dy₁(t) /dt = 0 y₁(t) + y₂(t), (2.4.3)

dy₂(t) /dt = – (D/B) y₁(t) – (C/B) y₂(t) + (1/B) x(t).

Эти уравнения описывают поведение системы в терминах скорости изменения каждой переменной состояния. Более того, переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если известны текущие состояния, внешние воздействия и уравнения динамики системы.

В общем случае состояние системы описывается дифференциальными уравнениями первого порядка относительно каждой из переменных состояния

x₁ = a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … +a_1n x_n + b₁₁u₁ + b₁₂u₂ +…+ b_1mu_m ,

x₂ = a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … +a_2n x_n + b₂₁u₁ + b₂₂u₂ +…+ b_2mu_m ,

……………………………………………………………. ,

x_n = a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + … +a_nn x_n + b_n1u₁ + b_n2u₂ +…+ b_nmu_m ,

где x = dx(t)/dt. Эту же систему дифференциальных уравнений можно записать в матричной форме

,

или более компактном виде

, (2.4.4)

используя векторы-столбцы x и u, а также матрицы A = [a_nm] и B = [b_nm].

В общем случае выходные сигналы линейной системы связаны с переменными состояния и входными сигналами уравнением вида

y = Cx + Du, (2.4.5)

где y – совокупность выходных сигналов, представленных вектором-столбцом.

Пример 2.4.1. Запишем уравнение состояния для RLC цепи, изображенной на рис. 2.4.1.

Рис. 2.4.1

Введем обозначения переменных состояния x₁ = u_C , а x₂ = i_L. Тогда, на основании уравнений Кирхгофа для токов, получим

dx₁(t) /dt = 0 x₁(t) – x₂(t) + u(t), (2.4.5)

dx₂(t) /dt = x₁(t) – x₂(t).

Выходной сигнал равен

y₁(t) = u_R(t) = R x₂(t). (2.4.6)

Таким образом, уравнение состояния в векторной форме имеет вид

, y(t) = [0 R] x(t). (2.4.7)

Общий вид решения уравнения состояния.

Решение дифференциального уравнения состояния (2.4.4) можно получить точно также, как решается скалярное дифференциальное уравнение первого порядка. Рассмотрим уравнение

dx(t) /dt = a x(t) + b u(t). (2.4.8)

Преобразуя (2.4.8) по Лапласу, получим

s X(s) – x(0) = a X(s) + b U(s). (2.4.9)

Следовательно

. (2.4.10)

Обратное преобразование Лапласа (2.4.10) дает решение

x(t) = . (2.4.11)

Применим преобразование Лапласа к уравнению (2.4.4) и сгруппируем его члены

. (2.4.12)

Обратное преобразование Лапласа (2.4.12) дает решение

x(t) = , где (2.4.13)

.

Матричная экспоненциальная функция Ф(t) = [_mk(t)] = = exp(At) с элементами _mk(t) называется фундаментальной матрицей или переходной матрицей состояния.

Для свободного движения, когда u(t) = 0, решение (2.4.13) имеет простой вид

. (2.4.14)

Из (2.4.14) видно, что элемент _mk(t) представляет собой реакцию m-ой переменной состояния на начальное значение k-ой переменной состояния при условии, что начальные значения всех остальных переменных состояния равны нулю.