Предикати взаємного розташування

Якщо один з будиночків знаходиться зліва, справа, спереду чи ззаду другого, то використовують відповідні бінарні предикати

Left(x,y) Right (x,y) Front(x,y) Back(x,y)

a c

b

В Боландії, карту якої ви бачите вище, наступні пропозиції Left (a,b), Left(a,c), Left(b,c), Right(b,a), (c,a), Right(c,b), Front(b,a), Front(b,c), Back(a,b), Back(c,b) є істинними. Ще один предикат взаємного розташування є Вetween(x,y,z), що означає : х знаходиться між y і z. Користуватися цим предикатом трохи складніше. Наприклад, чи можемо сказати, що на рисунку вгорі Between(b, a, c)? Для вирішення цього питання поділимо територію Боландії на рівні прямокутники. З рис. 2 легко зробити висновок, що

Between(с, a,е) Between(с, b, d)

є пропозиція істинна. А от на рис. 3 Between(с, b, е) є пропозиція істинна, а Between(с,а,d) хибна. Справа в тому, що пряма, яка зєднує центри будинків b і е перетинає прямокутник, в якому знаходиться будинок с, а пряма, яка зєднує а і d не перетинає цього прямокутника. Ось цими критеріями і треба керуватися для встановлення логічних значень пропозицій породжуваних предикатом Вetween(x,y,z).

a

a

b

b

c

d

c

d

e

e

Рис. 1 Рис. 2

А зараз перевірте, як ви зрозуміли боландійську мову, визначивши логічні значення наступних пропозицій, які ми почули в поселенні Bolanda 1, карту якого ви бачите на рисунку

d

c

d

a

b

Red(a) Middle(a) Green(b) Blue(c) Front(a,b)

Between(a,b,c) a=d Larger(a,b) Smaller(a,c) Left(b,c)

xRosa(x) xVerde(x) x(Rosa(x)Verde(x)) é falsa.

Tекст 3. Множина – фундаментальне поняття математики

Поняття множини

Весь світ навколо нас це множина речей (об’єктів, предметів) і явищ. Людина здатна виголошувати звуки.

Впорядкована множина звуків утворює слово:

Впорядкована множина слів утворює фразу або речення;

Множина речень утворює мову.

Ми вживаємо поняття впорядкована множина в тому розумінні, що між людьми, носіями даної мови, існує домовленість щодо об’єктів або явищ, які співвідносяться з тим чи іншим набором звуків. Тільки після цього набір звуків становиться словом. Це ж саме можна сказати про речення – множина слів становиться закінченою думкою тільки в тому випадку, коли слова підібрані у відповідністю з ситуацією і розташовані у певному порядку – в противному разі це просто абракадабра. Нарешті, щоб виголосити промову, яка може вразити слухачів своєю мудрістю, треба не тільки підібрати потрібну множину речень, а й впорядкувати їх найкращим чином.

Комп’ютер це множина мільйонів транзисторів, об’єднаних в логічні порти (слова). Логічні порти об’єднуються в логічні схеми (шифтер, декодер, суматор і ін. – речення). Організовуючи логічні схеми в потрібному порядку інженери створюють штучний інтелект, машину для зберігання, обробки і пересилки інформації, власне комп’ютер. З таким складним завданням не можна впоратися без попереднього математичного моделювання всіх процесів, пов’язаних з обробкою інформації.

Математика вивчає поняття абстрактні, об’єкти ідеалізовані, які в природі не існують, такі як точка, пряма, площина, число, змінна, рівняння, функція і т. і. В основі математики знаходяться примітивні поняття, настільки прості і очевидні, що не потребують пояснення. Примітивні відношення між примітивними поняттями називаються аксіомами. Наприклад,

Існує точка, що належить даній прямій і існує точка, що не належить цій прямій ;

Існує пряма, і до того ж лише одна, що проходить через дві різні точки;

Існує площина, що проходить через три точки, які не належать одній прямій

Вибір аксіом залежить від самих математиків, але роблять вони це таким чином, щоб аксіоми або відповідали справжнім відношенням між реальними об’єктами або щоб теорія, розвинута на основі цих аксіом, була б корисна для людства.

Вважається, що поняття множини і одиниці (елемента множини) відомі людям з практики і не потребують визначення через поняття ще простіші. В ХХ столітті поняття множини було покладено в основу математики, так що все в математиці може бути визначено або описано в термінах множини. Творцем теорії множин був Georg Cantor (1845 - 1918). Не всі математики в той час зрозуміли важливість цієї теорії і до самої своєї смерті Georg Cantor працював професором в одному провінціальному університеті Німеччини, не признаний своїми колегами. Причиною цього явилися відкриті трохи пізніше парадокси цієї теорії. Про природу цих парадоксів можна говорити тільки після того, як добре вивчити саму теорію. Дякуючи другому великому німецькому математику David Hilbert (1862 - 1943), теорія множин на кінець була признана як основа сучасної математики. David Hilbert говорив