Логічні значення

Логіка абстрагується від конкретного змісту пропозицій і цікавиться лише тим, є пропозиція істинною чи хибною. Так пропозиція P1 є хибною, а P2 істинною. Так як вивчення логіки у нас орієнтовано на програмування, де все базується на англійській мові, істинним пропозиціям ми будемо присвоювати значення TRUE і хибним значення FALSE. Таким чином, логічна змінна (пропозиція) може приймати всього два логічних значення - TRUE і FALSE. Завдяки цьому операції над логічними змінними корінним чином відрізняються від операцій над числовими змінними.

Операції над пропозиціями

В математиці ми розрізняємо два типи змінних величин: незалежні, які приймають довільні значення (такі змінні називаються аргументами) і залежні від аргументів змінні (такі змінні називаються функціями). Найчастіше залежність між аргументами і функціями встановлюється за допомогою математичних операцій, наприклад

і т.п.

Ідея полягає в створенні нових змінних на основі інших змінних. Те ж саме роблять в логіці. Але специфіка логічних змінних (приймають всього два значення) накладає специфіку і на операції над ними. Операції над пропозиціями називають логічними функціями, а правильно побудована за допомогою логічних функцій логічна змінна називається формулою. Основними логічними функціями являються заперечення, кон’юнкція і диз’юнкція. Всі останні логічні функції, про які мова йтиме далі, можна звести до цих трьох. Наші студенти можуть тільки позаздрити англомовним студентам. Для них кон’юнкція це звичайне слово, що означає сполучення, а диз’юнкція – роз’єднання. З запереченням асоціюється частка не, з кон’юнкцією сполучник і, а з диз’юнкцією – або. Головним завданням логіки пропозицій є встановлення логічного значення формули на основі логічних значень аргументів. Для цього треба починати з логічних функцій.

Заперечення

Якщо Р є якась пропозиція, то її заперечення позначається  Р. Логічні значення пропозиції Р і її заперечення  Р дані в наступній таблиці

					Р	 Р
					T	F
					F	T

Наприклад:

Будемо позначати логічне значення пропозиції Р як І(Р) – істинність Р. Тоді

І(рівняння х² – 1 = 0 не має розв’язку) = FALSE;

І((рівняння х² – 1 = 0 не має розв’язку)) = TRUE;

І(місяць липень має 31 день) = TRUE;

І((місяць липень має 31 день)) = FALSE.

Кон’юнкція

Якщо P і Q довільні пропозиції, то їх кон’юнкція позначається P  Q , а читається P і Q. Логічне значення кон’юнкції визначається по таблиці істинності

				P	Q	P Q
				F	F	F
				F	T	F
				T	F	F
				T	T	T

Іншими словами, кон’юнкція істинна лише у випадку, коли обидва аргументи істинні.

Диз’юнкція

Якщо P і Q довільні пропозиції, то їх диз’юнкція позначається P  Q , а читається P або Q. Логічне значення диз’юнкції визначається по таблиці істинності

				P	Q	P Q
				F	F	F
				F	T	Т
				T	F	Т
				T	T	T

Іншими словами, диз’юнкція хибна лише у випадку, коли обидва аргументи хибні.

Класифікація логічних формул

Нехай пропозиції Р1, Р2, ... , Pn з’єднані між собою символами логічних операцій. Формула А( Р1, Р2, ... , Pn ) при одних логічних значеннях аргументів може бути істинною, а при інших значеннях хибною. Конкретний набір логічних значень аргументів називається інтерпретацією. У випадку двох аргументів, як бачимо із наведених вище таблиць, існує чотири інтерпретації. При трьох аргументах – 8 інтерпретацій, при n аргументах – 2ⁿ інтерпретацій. На практичному занятті треба буде обґрунтувати цей результат.

Формула називається виконуваною, якщо існує принаймні одна інтерпретація, при якій вона істинна.

Завдання 1. При яких інтерпретаціях істинні: а) кон’юнкція; b) диз’юнкція.

Формула називається тавтологією, якщо вона істинна при будь-якій інтерпретації.

Формула називається протиріччям, якщо вона хибна при всіх можливих інтерпретаціях.

Завдання 2. Перевірити за допомогою таблиць істинності, що:

P   P – тавтологія;

P   P – протиріччя;

Очевидно із означень, що:

коли А тавтологія, то  А протиріччя, і навпаки,

коли А протиріччя, то  А тавтологія.

Логічне слідування і логічна еквівалентність

Говорять, що логічна формула В логічно слідує із формули А (позначається А  В ) якщо формула В істинна при всіх інтерпретаціях, при яких А істинна.

Говорять, що формули А і В логічно еквівалентні (позначається А  В або просто А = В), якщо кожна з них логічно слідує з другої.

Властивості логічних операцій

Завдання 4. За допомогою таблиць істинності показати логічну еквівалентність наступних формул:

 (A)  A.

Переставний (комутативний) закон Сполучний (асоціативний) закон Розподільний (дистрибутивний) закон Закон де Моргана

Зразок доведення (дистрибутивний закон)

A	B	C	B  C	A  (B  C)	A B	A C	(A B)(AC)
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	0	1	1	1	0	1	1
1	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0

Комп’ютер сприймає істинність як TRUEтак і 1, а хибність як FALSEтак і 0, в залежності від того, в якій мові, високого рівня чи машинній, написана програма. Тому ми, починаючи з цього моменту, будемо вживати обидва позначення як рівносильні. Перші три стовпчики таблиці визначають всі можливі інтерпретації трійки аргументів А, В, С. Порівнюючи логічні значення A  (B  C) і (A  B)(A C) при всіх можливих інтерпретаціях аргументів А, В, С приходимо до висновку, що

A  (B  C) = (A  B)(A C)

Принцип двоїстості

Аналізуючи наведені вище еквівалентності бачимо, що із двох формул в одній строчці одну можна одержати з іншої замінивши знак кон’юнкції на диз’юнкцію і навпаки. Формули, що мають такі властивості, називаються двоїстими. Принцип двоїстості має велике значення не тільки в логіці, але і в інших розділах математики, про що студенти дізнаються в свій час.

Імплікація

Якщо P і Q довільні пропозиції, то імплікація позначається P  Q , а читається: якщо P то Q. Логічне значення імплікації визначається по таблиці істинності

				P	Q	P Q
				F	F	Т
				F	T	Т
				T	F	F
				T	T	T

Іншими словами, імплікація хибна лише у випадку, коли перший аргумент істинний, а другий хибний. Не сплутайте імплікацію P  Q з логічним слідуванням А  В (прочитайте ще раз вище про логічне слідування).

Для імплікації характерна наступна термінологія, яка оправдана такими міркуваннями. Коли ми повідомляємо комусь яку-небудь інформацію як достовірну, то посилаємось на певне джерело інформації як завідомо достовірне (чули по радіо, прочитали в книзі і т. д.). В цьому разі передача інформації оправдана, ніхто не зможе нас назвати брехуном. Джерело інформації P назвемо посилкою, а саму інформацію Q висновком. Таким чином в імплікації фігурують посилка P і висновок Q. З таблиці істинності імплікації бачимо, що з хибної посилки можна зробити як істинний так і хибний висновок (строчки 1 і 2), а з істинної посилки тільки істинний висновок.

Логічні функції в програмуванні

В мовах програмування Basic і Pascal заперечення  Р позначається NOT P, кон’юнкція P  Q позначається P AND Q, диз’юнкція P  Q позначається P OR Q, імплікація P  Q позначається If P Then Q. В С++ вживаються відмінні позначення, але про це ви дізнаєтесь в свій час.

Крім перечислених вище логічних функцій в програмуванні велике значення мають функції XOR (виключна диз’юнкція) і EQV (еквіваленція), що визначаються таблицями істинності

P	Q	P XOR Q		P	Q	P EQV Q
0	0	0		0	0	1
0	1	1		0	1	0
1	0	1		1	0	0
1	1	0		1	1	1

ФункціяXORприймає істинне значення тільки в тому випадку, коли логічні значенняаргументів протилежні, аEQVприймає істинне значення тільки в тому випадку, коли логічнізначення аргументів співпадають.ПозначенняP EQV Q і PQрівносильні. Не сплутайтееквіваленціюPQз логічною еквівалентністюА  В, поняття близькі, але застосування різне.

Матерія, яку ми виклали в цій лекції належить до розділу логіки, що називається численням пропозицій. Зрозуміло чому.

Вправи на закріплення матерії.

1. За допомогою таблиці істинності довести, що

P QPQ.

P XOR Q (P EQV Q)

P Q(PQ)(QP)