4.3Адачі:

1. За допомогою канонічного розкладу знайти НСК чисел:

а) 187, 533; б) 32176, 162891; в) 2737, 9163, 9639.

2.  Дослідіть, чи є простим числом 1093?

3.  За допомогою решета Ератосфена знайдіть прості числа від 2 до 300,

4.  Знайдіть прості числа, які лежать між 2680 і 2710.

5.  За допомогою канонічного розкладу знайти НСД чисел:

а) 349, 387; б) 12606, 6494; в) 29719, 76501; г) 2737, 9163, 9639.

6. Знайти канонічний розклад чисел:

а) 82798848; б) 4497552259200; в) 67463283888000.

5. Варіанти контрольних робіт.

Варіант №1.

1.  Знайти неповну частку і остачу при діленні цілого числа а на ціле число b: а = 131, b = 31.

2.  При діленні цілого числа а на ціле число b дістають неповну частку q і остачу r. Знайти bі r , якщо а = 100, r= 6.

3.  При діленні цілого числа а на ціле число b утворюється неповна частка q і остача r. Знайти b і r, якщо а = 371, q= 14.

4.  Знайти загальний вид усіх чисел, які при діленні на 7 дають остачу 3.

5.  Довести, що з двох послідовних парних чисел одне і тільки одне ділиться на 4.

6.  Довести, що для довільного цілого числа п .

7.  Знайти всі прості числа, що містяться між числами 100 і 150.

8.  Знайти канонічний розклад числа 1001.

9.   Довести нескінченність множини простих чисел виду р = Зк + 2 , .

10. Знайти НСД чисел 3059, 2737, 943.

11. Знайти найменше спільне кратне чисел 126, 420, 525.

12. Знайти натуральні числа а і b, якщо а + b = 150, (а, b)= 30.

13. Довести, що (а, а+1) = (а +1, 2а+1) = (а, 2а + 1) = 1.

14. Довести, що , якщо .

Варіант №2.

1.  Знайти неповну частку і остачу при діленні цілого числа а на ціле число b: а = 31, b=131.

2.  При діленні цілого числа а на ціле число b дістають неповну частку q і остачу r. Знайти b і q , якщо а = 148, r = 37.

3.  При діленні цілого числа а на ціле число b утворюється неповна частка q і остача r. Знайти b і r, якщо a=826, q=83.

4.  Знайти загальний вид усіх чисел, які при діленні на -4 дають остачу 1.

5.  Довести, що з семи послідовних цілих чисел одне і тільки одне ділиться на 7.

6.  Довести, що для довільного цілого числа п

7.  Знайти всі прості числа, що містяться між числами 150 і 200.

8.  Знайти канонічний розклад числа 1009.

9.  Довести нескінченність множини простих чисел виду р = Зк + 1 , .

10.  Знайти НСД чисел: 2737, 9163, 9639.

11.  Знайти найменше спільне кратне чисел: 91, 252, 462.

12.  Знайти натуральні числа а і b, якщо: а∙b = 8400; (а, b) = 20.

13.  Довести, що (а, 2а+1) = (а, 2а-1) = 1.

14.  Довести, що , якщоn+1 є кубом деякого натурального числа.

Варіант №З.

1.  Знайти неповну частку і остачу при діленні цілого числа а на ціле число b: а = - 131, b = 31.

2.  При діленні цілого числа а на ціле число b дістають неповну частку q і остачу r. Знайти b і q , якщо а = 298, r=10.

3.  При діленні цілого числа а на ціле число b утворюється неповна частка q і остача r. Знайти b і r, якщо а = 441, q = 25.

4.  Знайти загальний вид усіх тих чисел, які не діляться на 2.

5.  Довести, що добуток чотирьох послідовних чисел ділиться на 24.

6.  Довести, що для довільного цілого числа п .

7.  Знайти всі прості числа, що містяться між числами 200 і 250.

8.  Знайти канонічний розклад числа 1769.

9.  Довести нескінченність множини простих чисел виду р = 4к + 1 , .

10.  Знайти НСД чисел: 299, 391, 667.

11.  Знайти найменше спільне кратне чисел: 84, 147, 245.

12.  Знайти натуральні числа а і b, якщо: ; (a,b) = 45.

13.  Довести, що (14а+3, 21а+4) = 1.

14.  Довести, що , якщо а — ціле, а .

Варіант №4.

1.  Знайти неповну частку і остачу при діленні цілого числа а на ціле число b: а = -31, b=131.

2.  При діленні цілого числа а на ціле число b дістають неповну частку q і остачу r. Знайти b і q , якщо а = 497, r= 16.

3.  При діленні цілого числа а на ціле число b утворюється неповна частка q і остача r. Знайти b і r, якщо: а = 57, q = 0.

4.  Знайти загальний вид усіх тих чисел, які не діляться на -3.

5.   Довести, що квадрат непарного цілого числа при діленні на 8 дає остачу 1.

6.  Довести, що для довільного цілого числа п .

7.  Знайти всі прості числа, що містяться між числами 250 і 300.                       

8.  Знайти канонічний розклад числам 1800.

9.  Довести нескінченість множини простих чисел виду р = 4к + 3 , .

10.  Знайти НСД чисел: 588, 2058, 2849.

11.  Знайти найменше спільне кратне чисел: 1058, 1403, 3266.

12.  Знайти натуральні числа а і b, якщо: (а, b) = 4, [а, b] = 24.

13. Довести, що (b-а, b) = 1, якщо (а, b)=1.

14. Довести, що тоді і тільки тоді, коли, де а і b — цілі, .

Варіант №5.

1.  Знайти неповну частку і остачу при діленні цілого числа а на ціле число b: а= 131, b = -31.

2.  При діленні цілого числа а на ціле число b дістають неповну частку q і остачу r. Знайти b і q, якщо a = 28, r = 2.

3.  При діленні цілого числа а на ціле число b утворюється неповна частка q і остача r. Знайти b і r, якщо: а=13127, q=121.

4.  Знайти загальний вид усіх тих чисел, які не діляться на 8.

5.  Довести, що сума квадратів двох послідовних цілих чисел при діленні на 4 дає остачу 1.

6.  Довести, що для довільного цілого числа n .

7. Знайти всі прості числа, що містяться між числами 300 і 350.

8.  Знайти канонічний розклад числа 3551.                         

9.  Довести нескінченність множини простих чисел виду р = 6к + 3 , .

10. Знайти НСД чисел: 31605, 13524, 12915.

11. Знайти найменше спільне кратне чисел: 356, 1068, 1424.

12. Знайти натуральні числа а і b, якщо: a+b=667; [a, b] = 120(a, b).

13. Довести, що (а+b, аb) =1, якщо (а, b) =1.

14. Довести, що =1.

Варіант №6.

1.  Знайти неповну частку і остачу при діленні цілого числа а на ціле число b: а=31,b = -131.

2.  При діленні цілого числа а на ціле число b дістають неповну частку q і остачу r. Знайти b і q , якщо а = 14, r = 14.

3.  При діленні цілого числа а на ціле число b утворюється неповна частка q і остача r. Знайти b і r, якщо: а =100, q=100.

4.  Знайти загальний вид усіх тих чисел, які не діляться на 2 і на 3.

5.  Довести, що сума квадратів двох непарних чисел не може бути квадратом цілого числа.

6. Довести, що для довільного цілого числа n .

7.  Знайти всі прості числа, що містяться між числами 350 і 400.

8.  Знайти канонічний розклад числа 82798848.

9.  Довести нескінченність множини простих чисел виду р = 6к + 5 , .

10. Знайти НСД чисел: 42598, 2324, 498.

11. Знайти найменше спільне кратне чисел: 819, 702, 689.

12. Знайти натуральні числа а і b, якщо: , [a, b] = 975.

13. Довести, що (а+b, а-b) = 1 або 2, якщо (а, b)=1.

14. Довести, що з п'яти послідовних цілих чисел завжди можна вибрати одне, взаємно просте з усіма іншими.